第一节 华佗
不怕威胁、不为利诱的医生
华佗也是一个为我国广大人民所尊崇、怀念的名医。
华佗生于公元2世纪（在东汉和三国间），比扁鹊要迟六七百年。他是沛国（治所在今安徽宿县西北）谯（今安徽亳州）人。他从小就能刻苦钻研学问，精通各种经书，尤其喜爱研究医学和养生的方法。后来他去徐州（州治在今山东郯城西南）游学，拜名医做老师，再加上自己不断的努力，终于获得了渊博的医学知识。内科、外科、妇科、小儿科和针灸科等，他样样精通，外科医术尤其高明，因而后世尊称他为外科的祖师。他医病的方法很多，而且简便易行，用药不过几种，给病人针灸，取穴也不过几处，但疗效很高，当时的人都称他为神医。
华陀
华佗除了有非常高明的医术以外，还有不慕名利的可贵品质。沛国相陈王圭曾经推荐他做孝廉，太尉黄琬也曾征聘他去做官，他都一概拒绝了。他宁愿捏着金箍铃，到处奔跑，为人民大众治病。彭城（今江苏徐州市）、广陵（今江苏扬州市）、甘陵（今山东临清市）、盐渎（今江苏盐城西北）、东阳（今山东恩县西北的东阳城）、琅（今山东临沂市北）一带，是华佗当时的主要行医的地方，这一带的人民没有不赞扬他的。到现在，江苏徐州还有华佗的纪念墓，沛县也还有华祖庙。
三国时的曹操常常患头风眩，医了好久没有见效，听说华佗的医术高明，就请他医治。华佗替他扎了一针，头便不痛了，因此曹操强要华佗当自己的侍医（私人医生），供他一个人使唤。华佗既是一个不慕名利的人，当然不愿意做曹操的侍医。他借口妻子有病，告假回家，不再到曹操那里去了。曹操忿怒极了，派人到华佗家里去调查。曹操对派去的人说：如果华佗的妻子果然有病，就送给他小豆四十斛（一斛就是一石）；要是没有病，就把他逮捕来办罪。
传说华佗被逮捕送到曹操那里以后，曹操仍旧请他治病。他给曹操诊断了以后，对曹操说：丞相的病已经很沉重，不是针灸可以见效的了，我想还是先给你服“麻沸散”（解说见后），然后剖开头颅，施行手术，这才能除掉病根。曹操认为华佗有意谋害他，大发脾气，把华佗关进牢狱里。后来，华佗就被曹操杀害了。
在被逮捕送往曹操那里去的路上，华佗还给人治病。被关进牢狱以后，他知道曹操不会放过他的，于是抑制住悲愤的心情，逐字逐句地整理他的三卷医学著作——《青囊经》，希望把自己的医术流传下去。这三卷著作整理好以后，华佗把它交给牢头，牢头不敢接受。在极度失望之下，华佗把它掷在火盆里烧掉。牢头这时候才觉得可惜，慌忙去抢，只抢出一卷，据说这一卷是关于医治兽病的记载。
从这里可以看出华佗是一个有骨气的人，他具有不怕威胁，不为利诱的高贵品质。
华佗没有留下专门著作。这是我国医学的一个重大损失。《中藏经》、《华佗方》等医书，虽被人认为是他的著作，实际上却都是后人假托的。
华佗的弟子有吴普、李当之、樊阿等人。吴普著有《吴普本草》，李当之著有《本草经》，樊阿精于针灸，在医学上都有很大的成就。
麻醉术的发明者
华佗在医学上的贡献很大。华佗最出色的是外科手术。为了施行手术的需要，他总结前人的经验，利用酒能够使人麻醉的性能，发明了“麻沸散”。病人用酒服麻沸散后，便会完全失去知觉，剖腹割背也不会感到痛苦。华佗除用手术来治外科病以外，还常用外科手术来医治内脏的疾病。华佗能把内脏的病变部分割掉，或者加以洗涤。动了手术以后，伤口用丝线缝合，敷上特别配制的药膏，据说四五天后便可以愈合，一个月左右便可以平复。
麻沸散的配制方法，早已失传，后人虽有种种推想，但都不可靠。不过，华佗在一千七百年前已经能用麻醉法来进行外科手术，则是毫无疑义的。这是他对祖国医学上的一个卓越的贡献。
神医华佗塑像
外科绝技
关于华佗的高明的外科手术，流传下来许许多多的故事。
据说有一次，华佗家里送来了一个肚子痛得十分厉害的病人。华佗按了病人的脉搏，再按揿了他的肚子以后，断定这个人患的是肠痈（就是盲肠炎）。华佗认为针灸已经迟了，非开刀不可。于是他就给病人服了麻沸散，并施行了剖腹手术，割去溃烂的盲肠，然后再用丝线扎好，敷上药膏。经过华佗的手术以后，这人的病就完全好了，不久伤口也结上了疤，一个多月以后就能干活了。
又有一次，一个孕妇请华佗看病，华佗诊断这妇人是受了伤，但胎儿还未落下来。妇人的丈夫知道自己妻子受了伤以后，胎儿已经落下来了，认为华佗的诊断不太正确，不要华佗给她治疗。过了一百天左右，这妇人又来找华佗了。华佗诊察了以后，仍旧断定胎儿没有下来，并且说，她原来怀的是双胞胎，上次落下了一个胎儿，失血过多，身体大大亏损，因而留在肚子里的胎儿也不能生长了。华佗还断定这胎儿已经死了，要是不把这个已死的胎儿弄下来，产妇就活不成了。于是华佗先给产妇扎针和服药，服药以后，产妇虽然肚子很痛，但胎儿还是下不来。于是华佗请另外一个妇人给这个孕妇按摩，果然取下一个死胎。
还有一个病人，肚子的中部痛了十多天，胡子和眉毛都因而脱落了，来请华佗诊治。华佗认为是脾脏腐烂，应该剖腹割治。经过华佗把他内脏的腐烂部分割掉，敷上药膏，并给他服了汤药，一百天以后，这人也恢复了健康。
小说《三国演义》里还有华佗替关羽“刮骨疗毒”的故事。据说关羽镇守襄阳（今湖北襄阳县）的时候，在战场上中了毒箭，臂膀红肿，请华佗医治。华佗建议关羽服麻沸散后再动手术，关羽认为不必服麻沸散。于是华佗把关羽的手臂缚在木架上，用刀割去腐烂的皮肉，一直刮到骨头上，关羽却一面下棋饮酒，谈笑自如。经过华佗手术以后，关羽才没有丧命。这事虽然不见于史书，但《襄阳府志》里却有这段记载。
华佗给人治病总是灵活地根据病人的实际情况，找出病源，然后决定疗法，决不为表面的现象所迷惑，也决不生搬硬套。例如，有两人都头痛发热，一同来请华佗治病。一个叫倪寻，一个叫李延。华佗细细诊察了他们的病情以后，知道两人的病象虽然相像，但致病的原因不同，于是给倪寻吃泻药，而给李延吃发散的药。当时有人问华佗说，他们两人患同样的毛病，为什么给他们服不同的药品？华佗就告诉他，倪寻是伤食（吃东西太多而生的病），李延是外感（受冷感冒），病状相同而病源不同，所以给他们吃的药也就不同。倪寻和李延服药以后，到了第二天，病都好了。
华佗还能用心理疗法来医治疾病。相传有一个郡守病了，请华佗给他医治。华佗诊断出他的病不是一般药物可以医治的，而只有在大怒之下才可痊愈。因此，华佗不给他开药方，反而向他索取了很多的诊金，并且大摆架子。几天以后，华佗偷偷地走开，留下一封信，信里把郡守大骂一通。果然不出华佗所料，郡守因为他的这种无礼举动大为愤怒，派人追捕，要把华佗杀掉。郡守的儿子知道内情，故意阻止。这使郡守越发激怒。盛怒之下，郡守吐了一摊黑血，病也就好了。这个传说虽然不一定可靠，但无疑是对华佗灵活运用心理疗法医治疾病的赞扬。
传说华佗还用冷水浴来给人治病。有个妇人患寒热病，经年不能痊愈，去找华佗给她医治。当时正是十一月里，天气非常寒冷，华佗叫她坐在石槽里，用冷水浇灌，然后用火来使她温暖，并且用厚被把她蒙盖起来。这妇人出汗以后，病果然痊愈了。
华佗也很善于用民间单方来治病。据说有一次华佗在路上遇着一个因咽喉阻塞吃不下东西而呻吟着的病人。华佗告诉他可以向路旁卖饼的人买三两蒜齑和三升酸醋，调好后吃下去，病就可以治好。病人依照他的话做了，不一会就吐出一条虫来，病也就完全好了。
“五禽之戏”和华佗的成就
华佗除了有很高明的医术以外，还是医疗体育的创始人。他继承并且发扬了我国古代“圣人不治已病，治未病”的传统思想，否定了方士可以使人长生不老的鬼话，批评了单纯的医疗观点。他认为每个人都应该进行体育锻炼，来增强体质、预防疾病，以达到延年益寿的目的。这是华佗对人们健康的另一贡献。
华佗常用“户枢不蠹，流水不腐”这两句话来说明他的这种思想。这意思是说：譬如门上的转轴，由于天天转动，所以不致于被虫蛀坏；流着的水，也因为经常在运动，所以不会腐败发臭。根据这个原则，华佗创造出一种叫做“五禽之戏”的体育活动来。
所谓五禽，就是虎、鹿、熊、猿、鸟。华佗把虎的扑动前肢、鹿的伸转头颈、熊的卧倒身子、猿的脚尖纵跳、鸟的张翅飞翔等动作，联系起来，编成一整套使全身肌肉和关节都得到舒展的体操。他的弟子吴普和樊阿用这方法来锻炼身体，增强了体质。吴普到90多岁时，听觉和视觉都很好，牙齿也很坚固；樊阿活到100多岁，身体也很健康。华佗把这套锻炼身体的方法，到处推广，使很多的人受到好处。
华佗在一千七百年前就创造了这样一套合乎科学的医疗体育和锻炼身体的方法，是他留给我们的宝贵遗产。
华佗在医学上所以能够获得这样巨大的成就，除了他的刻苦钻研、虚心学习以外，同时也由于他能勇于打破迷信、不受传统的束缚而又能接受前人有用的遗产，由于他能重视人民大众宝贵的经验。
用汤药和针灸等方法治不好的内脏病症，便用外科手术来治疗，这是华佗的重大贡献。但这种治疗方法在当时却受到医学界有守旧思想的人的攻击，他们认为用剖割手术会使人的元气大受损伤，经过剖割手术的人，即使不死，也活不长久。这些人的攻击并没有使华佗畏缩不前，他为了替人们解除痛苦，毅然决然地继续钻研并利用外科手术来治病，以事实来回答这种攻击。结果，华佗博得了广大人民的信任，把我国医学向前推进了一步。
五禽之戏是华佗批判地接受前人遗产的好例子。从秦朝以来，迷信修仙的人讲究“导引”，这就是模仿动物的动作，活动全身，以求长生不老的方法。华佗抛弃了其中的迷信部分，而吸收了合理的部分，并且加以发展和系统化，因而创造了这一套合乎科学的锻炼身体的方法。
上面说到华佗用蒜齑和醋这个民间单方来医治寄生虫病，是他重视人民大众宝贵医疗经验的证明。华佗一生游历了不少地方，到处采集草药并且向老百姓请教，他把所获得的丰富知识加以总结和提高，并因病人的特殊情况而决定医治方法和用药的分量，所以能够得到很好的医疗效果。相传有一个樵夫在深山里迷了路，肚子很饿，看见有个隐士在采黄芝吃，他也采了几枚，吃了很耐饿。樵夫回家后把这事告诉华佗，华佗就上山去采集，经过实验证明黄芝有很高的营养价值。华佗就用黄芝来配入药方，作为强壮剂。这也是一个很好的例子。
华佗替人治病也是处处从实际需要出发的。东汉末年是一个军阀混战的时代，安徽、山东、江苏一带，战事尤其频繁。在战争中被杀伤的人很多，对于外科的需要自然是很迫切的，华佗因此特别努力于外科医学的钻研，他发明麻醉法和能掌握非常高明的外科手术，都与这种实际需要有关。
第二节 刘徽
刘徽，淄乡（今山东邹平）人。生卒年不详，活动于公元3世纪，数学家。
刘徽自述“幼习《九章》，长再详览，观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”。《晋书》、《隋书》之“律历志”称“魏陈留王景元四年（263）刘徽注《九章》”。《九章算术注》原10卷，第10卷“重差”为刘徽自撰自注，大约在南北朝后期单行，因其第1问为测望海岛之高、远，遂称为《海岛算经》。唐李淳风编纂《算经十书》，刘、李注《九章算术》与《海岛算经》《九章算术》圆田术及刘徽注书影并列为其中的两部。刘徽又著《九章重差图》1卷，已失传。刘徽在北宋大观三年（1109）被封为淄乡男。同时所封60余人，多依其里贯。据《汉书》“地理志”、“王子侯表”以及北宋王存《元丰九域志》所载资料考证，淄乡在今山东省邹平县境，汉淄乡侯为文帝子梁王刘武之后。
《九章算术》及刘徽前的中国数学
刘徽登上数学舞台时，面对着一分堪称丰厚而又有严重缺陷的数学遗产。其基本情况是：世界上当时最先进的十进位值制记数法和计算工具算筹在中国使用已千年左右，算筹的截面已由圆变方，长度缩短为8~9厘米，筹算四则运算法则已确立。西汉张苍、耿寿昌在先秦遗文基础上删补而成的《九章算术》集先秦到西汉中国数学知识之大成，并在东汉成为官方制造法定度量衡器所依据的数学经典。《九章算术》包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九部分内容，奠定了中国古代数学的基本框架；提出了近百个一般性公式、算法，确立了以计算为中心的特点；含有246个应用题，体现了数学密切联系实际的风格；确定了中国古代数学著作算法统率应用问题的基本形式。它提出了完整的分数四则运算法则，比例和比例分配法则，开平方、开立方法则，盈不足术，方程术（即线性方程组解法），正负数加减法则，若干面积、体积公式及解勾股形公式，除个别失误外，都是正确的，许多成就处于当时世界领先地位。《九章算术》之后，中国数学著述采取两种形式，一是为《九章算术》作注，一是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。但是，《九章算术》只有术文、例题和答案，没有任何证明。汉魏时期，许多学者如马续、张衡、郑玄、刘洪、徐岳、阚泽等都研究过《九章算术》，他们的著作失传，但由刘徽《九章算术注》中“采其所见”者，可以了解其大概。数学家们力图改进圆周率值，成绩却不理想，如张衡求得π=10，可见并未找到求圆周率的正确方法。人们广泛使用出入相补方法证明几何问题。对平面图形，后人称作图验法，在直线形中，它是可靠的，但在曲线形中，却不能真正完成证明。对立体图形，后人称作菜验法。刘徽说：“说算者乃立菜三品，以效高深之积。”三品即长、宽、高均1尺的立方、堑堵（斜解立方得两堑堵）、阳马（即直角四棱锥，斜解堑堵得一阳马，及一鳖月需，即各面均为勾股形的四面体）。一般说来，验法只可用来验证标准形立体（即可分解或拼合成三品者）的体积公式，对一般情形则无能为力。人们在论证圆锥、圆亭、球等体积公式时，采用比较其底面积的方法。这是祖眍原理的最初阶段。齐同原理在数学计算中已经使用。总之，人们尽管在论证《九章算术》公式的正确性上作了可贵的努力，为刘徽采其所见准备了丰富的资料，但这些方法多属归纳论证，对《九章算术》大多难度较大的算法尚未给出严格证明，它的某些错误没有被指出。刘徽之前的数学水平没有在《九章算术》的基础上推进多少，这就给刘徽“探赜之暇，遂悟其意”，留下了驰骋的天地。自然，他的业绩主要在数学理论方面。
算法及其纲纪——率
长于定量分析，以算法为中心，是中国古代数学的特点。《九章算术》上百个一般性公式、解法，每个都是一种算法，除个别失误外，都具有完全确定性、普适性和有效性等现代算法理论对算法的要求。刘徽《九章算术注》的主要篇幅在于对《九章算术》算法的正确性进行证明论述。进行计算，关键在于找到一种量作为标准，进而找到各种量之间的关系，这就是率。率的本意是规格、标准。经过《孟子》、《墨子》、《周髀》等阶段的演变，到《九章算术》，率成了一个明确的数学概念。刘徽认为“凡九数以为篇名，可以广施诸率”，借助率论证了《九章算术》的大部分算法，约200个题目，使率的应用空前广泛深化，把率概念提高到理论的高度。刘徽给出了率的定义：“凡数相与者谓之率。”相与即相关，数在这里是量。一组量，如果它们相关，就称为率。由此刘徽得出率的性质：“凡所得率知，细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已。”换言之，一组有率关系的数，在投入运算时，其中一个扩大（或缩小）某一倍数，其余的数必须同时扩大（或缩小）同一倍数。刘徽进而提出了率的三种等量变换：乘以散之，约以聚之，齐同以通之。它们最初都是从分数运算抽象出来的。分数的分母、分子可以看作相与的两个量，因而成率关系，关于分数的三种等量变换自然推广到率中来。实际上，刘徽关于率的定义就是在经分术（分数除法）注中提出来的。成率关系的一组数若有等数（公因子），则可用此等数约所有的数，是为约以聚之。相反，对成率关系的一组数可以同时扩大某倍数而不改变率关系，是为乘以散之。利用这两种等量变换可以把成率关系的一组数化成没有公因子的一组整数，从而提出了相与率的概念。“等除法实，相与率也”。刘徽的运算大都使用相与率。只有将几个分数化成同一分数单位才能作加减运算，于是产生了齐同术。刘徽说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也。”同样，对比较复杂的问题，常常有相关的分别成率关系的两组或几组数，要通过齐同，化成有同一率关系的一组数，齐同原理成为率的一种重要运算。刘徽说：“齐同之术要矣，错综度数，动之斯谐，其犹佩角解结，无望而不理焉。”刘徽对齐同原理的应用是多方面的。若甲、乙之率为a，b，乙、丙之率为c，d，欲从甲求丙，可以先从甲求乙，再从乙求丙，称为重今有术。刘徽认为，亦可应用齐同原理，先同乙之率，为bc，再使甲、丙之率与乙相齐，分别为ac，bd，则三率悉通，然后应用今有术。刘徽指出。“凡率错互不通者，皆积齐同用之。放此，虽四五转不异也；”刘徽创造的方程新术，就是先求出诸物的两两相与之率，再通过齐同，化成同一率关系，用今有术或衰分术求解。同一问题，同什么量，齐什么量，可以灵活运用。对均输章第20—26问即凫雁类问题，刘徽提出了两种齐同途径。凫雁问是：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢？”其解法，可以“齐其至，同其日”，则63日凫9至，雁7至。
“今凫雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同”，639+7为相逢日。亦可同其距离的分割，齐其日速。南北海距离63分，凫日行9分，雁日行7分。并凫雁一日所行，以除南北海距离，而得相逢日。两种方式，殊途同归，都证明了《九章算术》术文的正确性。盈不足问题在《九章算术》中占有重要地位。即使一般算术问题，通过两次假设，都可以化成盈不足问题（在非线性问题只可得近似解）。《九章算术》首先给出了一般方法：“置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实，并盈、不足为法。实如法而一。”设所出a1，盈b1，所出a2，不足b2，则不盈不月肉之正数为a1b2+a2b1b1+b2.刘徽认为：“盈、月肉维乘两设者，欲为齐同之意。”同其盈、月肉为b1b2，使所出与盈、月肉相齐，分别为a1b2和a2b1，于是b1+b2次所出，共出a1b2+a2b1而不盈不月肉，故每次出a1b2+a2b1b1+b2.方程术即线性方程组解法是《九章算术》最值得称道的成就。《九章算术》按分离系数法列出方程，相当于现在的矩阵和增广矩阵。然后用直除法消元，直到每行剩一个未知数，从而求得方程的解。刘徽把率的思想拓展到方程术中，提出方程是“令每行为率”，因而可以对整行施行乘以散之，约以聚之，并在各行之间施行齐同以通之，从而建立了常数与整行的乘除运算，以及两行之间的加减运算。刘徽接着提出了“举率以相减不害余数之课”的原理作为方程术消元的理论基础。直除法是以甲行某系数乘乙行，再从乙行反复减甲行，直至该系数化为零。刘徽认为直除法符合齐同原理，同是同两行相应的未知数系数，齐是使一行中其余各项系数及常数项与该项系数相齐。刘徽进而创造了互乘相消法，与现今消元法无异。刘徽认为，上述原理和方法对负系数方程同样适用：“赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率。然则其正无人负之，负无入正之，其率不妄也。”此处“赤黑”即正负数。五家共井问6个未知数，只能列出5行。《九章算术》按方程术解而实际上把一组最小正整数解作为定解。刘徽认为这是“举率以言之”，承认它是不定问题，是为中国古算中第一次明确提出不定方程。刘徽还把率广泛用于面积、体积和勾股等几何计算中。相似勾股形“相与之势不失本率”，是刘徽概括出的一条重要原理。《九章算术》勾股容圆径的公式是d=2ab/（a+b+c）。刘徽用衰分术的证明是：过圆心作平行于弦的直线，分别与勾、股及垂直于勾、股的半径构成与原勾股形相似的小勾股形，且其周长分别等于勾、股，设勾上小勾股形边长为a1，b1，c1，则a1：b1：c1=a：b：c，且a1+b1+c1=，由衰分术，b1=ab/（a+b+c），d=2b1=2ab/（a+b+c）。其他测望问题和重差问题亦可借助率解决。刘徽说：“乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎？”显然，刘徽把率看成数学运算的纲纪。刘徽认为，今有术在算法中起着基础性作用。所谓今有术就是：若A：B=a：6，则B=ABa。刘徽把它看成“都术”即普遍方法，并且说：“诚能分诡数之纷杂，通彼此之否塞，因物成率，审辨名分，平其偏颇，齐其参差，则终无不归于此术也。”这里，“平其偏颇，齐其参差”，就是齐同原理。
出入相补原理
出入相补又称以盈补虚，是刘徽之前解决面积、体积问题的传统方法，刘徽对它作了记载、概括和发展。以勾股章“出南北门求邑方”问为例，已知出北门a步有木，出南门七步折西b步见木，求邑方。《九章算术》给出二次方程x2+（a+k）x=2ab，x便是邑方。刘徽的出入相补方法是：设北门C，南门D，木B，折西处C′，见木A′。作诸辅助线。勾股形BEA′与BC′A′，AGA′与AFA′面积分别相等，故长方形BEGC与BHFC′面积相等，即ab，长方形HD′F′F的面积为x2+ax+kx，又等于BHFC′之2倍，即2ab，故x2+（a+k）x=2ab。这就证明了《九章算术》方法的正确。刘徽在阐述了日高术之后说，《九章算术》的测望问题“皆端旁互见，无有超邈若斯之类”。他说：“虽夫圆穹之象犹日可度，又况泰山高与江海之广哉？”因此，“辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于《勾股》之下”。刘徽说：“凡望极高，测绝深而兼知其远者必用重差、勾股，则必以重差为率，故日《重差》。”从测望技术上说，他使用了重表、连索、累矩三种基本方法，而望海岛（同日高术）、望松、望谷深代表了望高、知远、测深三个基本公式，其余诸问的方法皆可由它们推出。这三个基本公式是：岛高=表间×表高/相多+表高，松高=表间×人表/相多+人表，谷深=矩间×上股/上下股差一勾高。刘徽设计的问题的复杂程度大大超过了《九章算术》，有的要测望三次或四次。他说：“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入。”刘徽自注已佚，他怎样证明这些公式不得而知，用出入相补原理或比率的原理都是可能的。立体体积公式也可用出入相补原理证明。刘徽证明堑的体积V=12（b1+b2）ah的方法是以盈补虚，将堑变成一个宽12（b1+b2）、长a、高h的长方体，刘徽对其他多面体体积公式的证明则必须在用无穷小分割方法证明了阳马和鳖月需的体积公式之后。而所谓验法，是刘徽以前的传统方法，不是刘徽创造的，刘徽甚至不满意这种方法，指出了它的局限性。刘徽还用出入相补原理证明了开平方、开立方程序的正确性。如开A的立方，求得初商a1，则减根方程x31+3a1x21+3a21x1=A—a31的几何意义，其剩余部分A—a31由小立方x31、三长廉3a1x21、三方廉3a21x1构成，其中x1为待求的未知数。
无穷小分割在数学证明中的应用
这是刘徽最杰出的数学贡献。极限思想的萌芽在先秦墨家、名家、道家的著作中就产生了，但主要在于说明他们的宇宙观。千百年来，车轮等圆形器具的制造中实践着化直为曲、化方为圆的过程，就含有极限思想。司马迁将之抽象为“破觚为圜”，以比喻汉废秦之苛法。刘徽则在中国数学史上第一次把极限思想用于数学证明。
割圆术——圆面积公式的证明。《九章算术》提出了圆面积公式S=12Lr，S，L，r分别为圆面积、周长及半径。刘徽用极限思想对之作了证明。他从圆内接正6边形开始割圆，依次得到正6.2边形（n=0，1，2……），设其面积为Sn，每边长In，周长Ln。他认为割得愈细，S—Sn愈小。“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”用现代符号此即表示=limlnn∞=0，limLnn∞=L，limSnn∞=S。另一方面，圆内接正6.2n边形每边与圆周有余径rn，显然Sn+6.2nInrn=Sn+2（Sn+1—Sn）>S。但在正多边形与圆周合体的情况下，“则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。”亦即当limlnn∞=0，时，limrnn∞=0，limn∞Sn+2（Sn+1—Sn）=S。最后，将与圆周合体的正多边形分割成无数个以圆心为顶点以边长为底的小等腰三角形。由于以海边乘半径等于每个小三角形面积的两倍，则这无数个小三角形面积之和应是圆半周与半径之积，正如刘徽所说：“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂。”
刘徽原理——锥体体积公式的证明
刘徽极限思想最精彩的应用当推他关于阳马与鳖月需体积公式的证明。《九章算术》给出阳马体积公式Vy=13adh，鳖月需体积公式Vb=16abh，其中a，b，h是宽、长、高。刘徽指出口≠b≠h的情况下由于“鳖牖殊形，阳马异体”，用验法“则难为之矣”。他只好另辟蹊径。刘徽首先提出一个重要原理：“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖月需。阳马居二，鳖月需居一，不易之率也。”即对任一堑堵，恒有Vy：Vb：=2：1.显然，只要证明了这个原理，由于堑堵体积为12abh，则阳马、鳖月需的体积公式是不言而喻的。这个原理称为刘徽原理。刘徽用无穷小分割证明了它。他将一个阳马与一个鳖月需拼成一个堑堵，再用三个互相垂直的平面平分其长、宽、高，则阳马分解为一小长方体，二小堑堵和二小阳马，鳖月需分解为二小堑堵和二小鳖月需。阳马中二小堑堵与鳖月需中二小堑堵拼成二小长方体，与阳马中小长方休共三个全等的小长方体。显然，阳马与鳖月需在刘徽原理之证明其中体积之比为2：1.二小阳马与二小鳖月需恰是二小堑堵，它们又合成第四个全等的小长方体。阳马与鳖月需在其中体积之比仍未知。总之，阳马与鳖月需在原堑堵的3/4中的体积之比为2：l，在其1/4中仍未知，“是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一”。刘徽指出，若在余下的1/4中能证明可知部分阳马与鳖月需体积之比仍为2：1，则就可以确定在整个堑堵中阳马与鳖月需体积之比为2：1.为什么呢？由于所余l/4中，两个小堑堵的结构与原堑堵完全相似，因此可以重复刚才的分割，从而又证明在其中的3/4中阳马与鳖月需体积之比为2：l，而在原堑堵的14·14中未被证明。这个过程可以无限继续下去，“半之弥少，其余弥细，至细日微，微则无形。由是言之，安取余哉？”没有证明刘徽原理成立的部分为0.换言之，在整个堑堵中证明了刘徽原理。刘徽原理是刘徽整个体积理论的核心。用无穷小分割方法解决四面体体积是现代数学研究的课题之一，是D·希尔伯特（Hilbert）《数学问题》第三个问题的主题。刘徽在此前1600多年就开始考虑这个问题。
牟合方盖与截面积原理
在证明其他面积和体积时，刘徽以另一种方式使用了无穷小分割。刘徽指出，《九章算术》的开立圆术是错误的。他用两个底径等于球径的圆柱正交，其公共部分称作牟合方盖。
（八分之一）方率也；丸居其中，即圆率也，指出了彻底解决球体积的正确途径。200多年后，祖冲之父子解决了这个问题。刘徽还提出圆锥、圆台分别与其外切方锥、方台体积之比为π：4，圆锥与以圆锥底周为底之每边长的方锥体积之比为25：314（相当于1：41π）。刘徽说“上连无成不方，故方锥与阳马同实”。成，训层，可见刘徽认为，两立体若等高处的截面积成定比，则其体积成定比。后来西方的B。卡瓦列里（Cava。lieri）的不可分量原理与之十分接近。刘徽开始把中国对截面积原理的认识提高到理性阶段，为祖日恒原理的最后完成作了准备。刘徽还提出圆锥与方锥的侧面积之比为π：4.
极限思想在近似计算中的应用
刘徽指出，圆面积公式中的周径“谓至然之数，非周三径一之率也”，因而需要求该数即盯的精确值。他用割圆程序割直径为2尺的圆，依次求出l1，l2，l3，l4，算出S4=313584625寸2，S5=31464625寸2，则S4+2（S5—S4）=314169625寸2>S从而取S=314寸2，再利用圆面积公式反求出周长：“以半径一尺除圆幂，倍所得，六尺二寸八分，即周数。”又“令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也”。此即π=157/50（=3.14）。刘徽认为此率“犹为微少”，又取S=314寸2寸，同样求出π=3927/1250，并求出l8，计算出S9，验证了这个值。这是中国第一次提出求圆周率的正确方法，奠定了中国古代圆周率计算在世界上长期领先的基础。据信，祖冲之就是用刘徽的方法将圆周率的有效数字推进到8位。刘徽指出《九章算术》弧田（弓形）术不精确。他利用割圆思想，将弧二等分，求出小弧之弦、矢，再将小弧二等分，如此继续下去，“割之又割，使至极细。但举弦矢相乘之数，则必近密率矣”。用这种方法可以将弧田面积精确到所需要的程度。《九章算术》开方不尽时，“以面命之”，这是以被开方数的方根定义一个数，相当于无理数。至于其近似值，刘徽之前，有表示成N=a+r2a+1的，a为根的整数部分，r为余数。刘徽认为这“虽粗相近，不可用也”。从而提出：“不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。”在开立方中也有类似方法。这种求十进分数的思想与现今求无理根的十进小数近似值完全相同，其意义十分重大。计算精确的圆周率，必须求微数，它是保证中国圆周率计算长期领先的先决条件。同时，它开十进小数之先河，对中国在世界上最先使用小数起了促进作用。
枝条虽分而同本干——刘徽的数学体系
刘徽的数学知识分散在《九章算术》中，好像杂乱无章，前后失次，实际上并不然。他说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。”这个端是什么呢？刘徽在谈到数学研究并不特别困难时说：“至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共。”规、矩分别是画圆、画方的工具，表示事物的空间形式，度量指度、量、衡，表示事物的数量关系。刘徽的话表明他认为数学方法来源于空间形式和数量关系的统一，这正反映了中国古算的特色——几何与算术、代数的统一。对《九章算术》的解法进行论证是刘徽注的主题。上文所列出的论证所使用的推理都是演绎推理，因而其论证是演绎证明。事实上，整个刘徽注固然使用了大量类比与归纳推理，但在数学命题的论证上主要使用了演绎推理。据分析，刘徽注中包含了三段论、关系推理、连锁推理、假言推理、选言推理以及二难推理等演绎推理形式。刘徽推理的前提是由公认的事实抽象出来的原理及已经证明的公式，解法。当然，还必须提出许多数学定义。在中国，数学定义最初出现在先秦《墨经》中。《九章算术》却没有任何定义。刘徽继承墨家传统，提出了若干定义，如方程。“方”的本义是并船，许慎《说文解字》：“方，并船也”，亦训并。“程，课程也”，考核其标准。方程的本意是并而程之。细言之，是将一组物的各种数量关系并列起来考察诸物的标准。刘徽说：“群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”显然是一个符合方程本义的发生性定义。刘徽关于正负数的定义：“两算得失相反，要令正负以名之。”它表明，正负是互相依存的，不再是以盈为正，以欠为负的朴素描述。根据这个定义，方程中各行系数的正负可根据消元的方便而定：“可得使头位常相与异名。”面积的定义：“凡广从相乘谓之幂。”由这个定义，可以计算曲面的面积，并且可以把与面积无关的两数相乘问题化成面积问题解决。刘徽没写出体积的定义，但遍察《九章算术》，刘徽没写注的只有53问的术文，其中52间（分别在卷二、三、八）或已注过总术，或已注过同类术，根据简约的原则，不必再注。余下没作注的便只有商功章方堡土寿（方柱体）体积公式。这不是刘徽的疏漏，而是把它看成不能证明的真理，因此可以理解为定义。刘徽着力探讨《九章算术》各公式、解法，以至数学各部分之间的关系。以体积问题为例。《九章算术》以验法为主要方法，其正确性是归纳的结果。刘徽则不然，他在用无穷小分割完成阳马与鳖月需的体积公式证明之后指出：“不有鳖月需，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。”并且接近提出任何四面体的体积都是16abh。他将方锥、方亭、刍甍、刍童、羡除等多面体分割成长方体、堑堵、阳马、鳖月需，以证明其体积公式。刘徽的多面体理论是从长方体出发，以四面体体积公式的证明为核心，以演绎推理为主的理论体系。刘徽的其他理论都可作类似分析。总之，数学在刘徽的头脑中形成了一个独具特色的体系。它从规矩度量的统一出发，引出面积、体积、率、正负数的定义，运用齐同原理、出入相补原理、无穷小分割方法，以演绎逻辑为主要推理方法，以计算为中心，以率为纲纪。它“约而能周，通而不黩”，并且没有任何循环推理，全面地反映了到公元3世纪为止的中国人的数学知识。刘徽《九章算术注》不仅有概念，有命题，而且有联结这些概念和命题的逻辑推理。它的出现标志着中国古代数学形成了自己的理论体系。
刘徽和他的时代
公元3世纪由刘徽完成《九章算术注》这样杰出的著作不是偶然的。中国封建社会经过两汉大发展，到魏晋发生了大变革，经济关系的基本特征是庄园农奴制，门阀士族占据政治舞台的中心，中国封建社会进入一个新阶段。与此相适应，繁琐的两汉经学和谶纬迷信被冷落，儒学衰微，代之而起的是以研究三玄（《周易》、《老子》、《庄子》）为中心的辩难之风，思想界出现了春秋战国百家争鸣之后所未有过的解放与活跃局面。知识分子较能按自己的特长和社会需要发挥才智，而少受追求功名利禄及代圣贤立言的精神枷锁的束缚，从而打开了数学研究中发挥创造性的大门。以严谨为其特点的数学几百年来积累了大量公式、解法需要证明其正确性，而“析理”，探索思维规律，互相辩难，追求理性的辩难之风的兴起促进了这个过程的完成。刘徽注《九章算术》的宗旨“析理以辞，解体用图”无疑是辩难之风中“析理”在数学中的反映。刘徽主张“要约”，“举一反三”，反对以多为贵、远引繁言，主张触类而长，这都与嵇康、王弼、何晏等思想家的主张一致，甚至他们的许多用语、句法也都相近。因此，刘徽深受辩难之风的影响而析数学之理是顺理成章的。我们由此而断定刘徽为嵇康、王弼的同代人而稍小一点，当生于3世纪20年代后期或稍后，注《九章算术》时年仅30岁左右，这与汉末三国多早熟夙悟才子是吻合的。
刘徽成长在齐鲁地区为他在数学理论上做出贡献提供了良好的客观条件。邹鲁之乡是儒学的发祥地，临淄稷下学宫招徕全国著名学者，成为先秦百家争鸣的中心之一。经两汉到魏晋，齐鲁的学术空气一直十分浓厚，2~3世纪更出现了徐干、仲长统、王肃、郑玄、王弼等大思想家，曹魏时期，齐鲁地区又是正始之音辩难之风的中心之一。因此，刘徽从小能受到良好的文化教养，并置身于辩难之风之中。另一方面，2~3世纪，齐鲁地区的数学比较发达，出现了刘洪、郑玄、徐岳、王粲等著名数学家，形成了以研究《九章算术》为主的数学中心，这就给刘徽少年时师承贤哲，成年后“采其所见”，从事深入的数学研究准备了丰富的资料。在这样的客观条件下，使刘徽有可能改变数学偏重实践经验，忽视理论研究的传统，向重视理论研究的方向转化。
刘徽本人具有一个大科学家的素养，是他成功的内在因素。首先，他继承了《九章算术》开创的数学联系实际的传统。刘徽在论述包括数学本原在内的各种问题时都坚持实事求是，没有神秘的成分。他说：“不有明据，辩之斯难。”全部《九章算术注》的推理、论证都有可靠的论据和前提。他指出数学“非特难为也”，批评张衡欲协其阴阳奇耦而不顾数学上疏密的错误，指出“虽有文辞，斯乱道破义，病也。”与不可知论及数字神秘主义划清了界限。刘徽博览群书，善于汲取历代思想家的思想资料用于自己的数学创造。他引用《墨子》、《周礼》及《考工记》、《左氏传》、《周易》、《论语》、《管子》、《老子》、《庄子》、《史记》、《淮南子》等典籍的话，顺手拈来，天衣无缝，表明他谙熟诸子百家言。他置身于时代潮流中，重视数学理论研究，他的无穷小分割中“不可割”的观点与墨家“不可新”的思想一脉相承，“至细日微，微则无形”的观点则源于《庄子》“至精无形”，他的推理方式受到王充《论衡》的影响，等等，都是时代的产物。但他不迷信古人。《九章算术》在东汉已被奉为经典，刘徽为之作注，对之自然十分推崇。然而他并不盲从。他在全面论述《九章算术》的同时，指出了它的若干错误及不精确处。如批评宛田术和开立圆术的错误。指出有关圆或圆体的问题或术文“以周三径一为率，皆非也”。在中国数学史上批评《九章算术》最早最多最深刻的，要数刘徽。他还批评世人因袭《九章算术》之旧法，“莫肯精核，学者踵古，习其谬失”。同时，他虚怀若谷，敢于承认自己的不足。对自己设计的牟合方盖，他“判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正”，未能求出其体积，然而他决不不懂装懂，故弄玄虚以欺世人，而是坦率地承认“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者”，既表现了他“知之为知之，不知为不知”的实事求是作风，又反映了他寄希望于后学，相信后人能超过自己的坦荡胸怀。刘徽认为，用数学方法解决实际问题，应在认识数学精理的基础上尽量灵活运用各种数学方法，所谓“设动无方”，而不应“专于一端”，不知变通。他以《庄子》“庖丁解牛”的寓言作比喻，说“数，犹刃也。易简用之则动中庖丁之理，故能和神爱刃，速而寡尤。”因此，他对一个问题常常提出几种不同的解法，对一种解法，又提出不同的理解途径，大大丰富了《九章算术》的内容。
当然，在表彰这位数学巨匠的功绩时，也不能不指出他的某些不足。刘徽在数学上无疑是位创造者、革新者。就他的水平，完全可以写出一部水平更高的自成体系的著作。然而他未能突破给经典著作作注的惯例，把自己的真知灼见分散到《九章算术》中，这对后人理解《九章算术》大有裨益，但却限制了他的数学创造、数学方法的展开，限制了他的思想对后世的影响。比如就极限思想而言，从现存中国古算资料看，在清末李善兰微积分思想产生及西方微积分学传入中国之前，再没有人超过甚至没有达到刘徽的水平。因此可以说，刘徽《九章算术注》在内容上是革命的，在形式上是保守的。刘徽说：“一者，数之母”，在有理数范围内这是正确的，并且，这种思想对求圆周率近似值，开方不尽求微数而不必考虑哲学上的困难，无疑是有意义的。但是这种思想也关上了考虑与1没有公度的数的大门，后来关于无理数的认识一直未能在《九章算术》的基础上前进一步。
第三节 陆机
陆机，字元恪。三国（3世纪）时吴国吴郡（今江苏吴县）人。生卒年不详，博物学家。
陆机，一作陆玑，以别于同时同郡的文学家陆机（字士衡）。其实，文学家陆机在吴亡后入晋，应为西晋时人。以博物著称的陆机，因正史无传，且缺乏史籍记载，其生平活动，尤其是他的生卒年，很难考订。从惟一可资凭说的《毛诗草木鸟兽虫鱼疏》中也只能得到点滴信息，觅得少量线索。
据《毛诗草木鸟兽虫鱼疏》的作者题署，知道陆机是三国时吴郡人，做过太子中庶子，官至乌程令。他出身于江南吴郡世族。孙吴政权是靠南北世家大族支撑起来的。吴郡的顾、陆、朱、张在孙吴政权中占有重要地位，特别是在孙权统治时期（200~256），孙权与顾、陆联姻，更加深化了这种政治依赖性。顾雍掌管朝廷政权，陆逊掌管吴国兵汉，朱治为吴郡太守。这时，孙氏子弟及顾、陆、朱、张四姓子弟做大小官吏者数以千计。而且每过几年，就有几百人被送到中央去做官。陆机可能是在这个时期做吴太子中庶子，出任乌程令的。
据该书看来，陆机对北方的动植物颇为熟悉，也了解北方某些地方的俚语、方俗，书中所提到的地名，也多属长江以北、黄河流域中下游地区。可以推断他在早年曾游学于北方，到过北方很多地方。
陆机是否从师郑玄（127~200），由于史料缺乏，不便妄测。但可肯定的是，东汉末年，北海（今山东）郑玄杂糅今古文经学，以其门徒多、著述富，成为当时“天下所宗”的儒学。陆机即使不是郑玄的入室弟子，至少也是深受郑学影响的儒者。
《诗经》是儒家经典之一。《诗经》中的动植物多为春秋以前长江以北、黄河流域中下游地区的动植物，名称古老。战国以来，释《诗》者往往以一物之别名来解释《诗》中的动植物古名。如果学《诗》者不了解“别名”所指为何物，则《诗》中之动植物名仍令人费解。陆机治诗，师承郑学，训诂名物，不仅参考前人著述达30种，吸取当代《本草》中动植物知识的新成果，更为重要的是，他根据自己在北方的实地考查所得的“活材料”，运用写实和比喻（同类事物的类比）的方法，生动具体地解释《诗》中的动植物古名，把它置于科学认识的基点上（不仅仅是文字训诂），形成自己独特的风格，大大地超越了前人注释的水平，在古代生物学史上做出了特殊的贡献。
其一，陆机治诗，将动植物知识分列出来单独成册，著成《毛诗草木鸟兽虫鱼疏》，这本身就是史无前例的创举。而且，由于它的出现，使古典博物学开始从儒家经典注疏中分出一支。
《毛诗草木鸟兽虫鱼疏》分上、下2卷，上卷为植物部分，计有草本植物60种，木本植物47种；下卷为动物部分，其中鸟类27种，兽类12种，虫类24种（内有鼠类、两栖类），鱼类11种（含兽类、贝类）。该书对动植物形态（种类辨别）、生态（习性）、地理分布，以及栽培、驯化和利用，具有一定深度的认识，类似于近代的“自然历史”。
其二，陆机对动植物的形态描述翔实，突出动植物的形态特征，可据之以辨别其种属。
例如他对鹭的描述：“水鸟”，羽毛“洁白”，“青脚高七八寸，尾如鹰尾，喙长三寸余。头上有长毛十数尾，长尺余，毵毵然与众毛异”。即如今鹳形目的白鹭。鹈鹕的形态特征是“颔下胡大如数升囊”。鼍（扬子鳄）“形似水蜥蜴”，“长丈余”，“卵生”。至于植物的形态特征更为详尽：“今药草贝母也。其叶如栝楼而细小。其子在根下如芋子（块根），正白，四方连著有分解（块根、簇生）也”。显然是葫芦科的贝母。“薇，亦山菜（野生）也。茎叶皆似小豆，蔓生，其味如小豆，藿可作羹，亦可生食。”薇即如今豆科植物大巢菜。
基于对形态特征的认识，陆机能依据某些植物的共同特征来进行归类。如：“榛，栗属”，是以榛、栗果实相似而定；“梅，杏类”也是以其树、叶、果实相似而定。尤为重要者，他根据植物的形态特征正确地辨识了《诗经》中的同名异物的植物名称。他认为“苕之华”的“苕”和“邛有旨苕”的“苕”，是两种不同种属的植物，前者“似王刍，生下湿水（沼池、下湿地）中，七、八月中华紫（开紫花），似今紫草”（似为禾本科植物，《辞海》以为是紫葳科植物，恐非是）；后者则是幽州人所说的翘饶，蔓生，“茎如劳豆而细，叶似蒺藜而青。其茎、叶绿色，可生食，如小豆藿也”，显然是豆科黄芪属植物紫云英。“标有梅”的“梅”，是“杏类也”，即如今蔷薇科植物；而“终南何有”的“梅”，却是荆州人所说的“梅”，也即，“终南及新城、上庸皆多樟。终南山与上庸、新城通，故亦有也”，即如今樟科润楠属植物楠。其他如“蒲”，“有蒲有荷”的“蒲”，即如今生于浅水中的香蒲；“扬之水不流束蒲”的“蒲”却是“柳”，即如今杨柳科的蒲柳。“杞”，“集于苞杞”的“杞”为枸杞（“地骨”）：“无折我树杞”的“杞”，是生于“水旁”的“柳属也”，即如今杨柳科植物杞柳。
其三，陆机在该书中不仅记载了动植物的生长地和栖息地，而且特别着重记载了动物的种群生态现象。
鹳“树上作巢，大如车轮”，即言其树栖，集群营巢，苍鹭（“负釜”、“背灶”、“黑尻”）则“泥其巢，一旁为池，含水满之，取鱼置池中……”集群营巢于水边，共食。鹈鹕也是群栖共食，“好群飞，若小泽中有鱼，便群共抒水，满其胡（皮囊）而弃之，令水竭尽，鱼在陆地，乃共食之，故日淘河”。如果说白鹳营巢简陋的话，那末鸱鹗（巧妇鸟）营巢可谓精巧。鸱鹗“取茅莠为巢，似麻2失之如刺袜然，悬著树枝，或一房或二房。幽州人谓之宁鸟，或日巧妇……”。但也有的鸟“性不树止（栖）”。
他还注意到某些鸟类的雌雄关系，“鹁鸠……阴则屏逐其匹，晴则呼之”。鹑“不乱其匹”。“今云南鸟……啼鸣相呼不同集”，以及“布谷生子，鹪鹩养之”的寄生关系和尸鸟鸠（鸠鸽类）双亲育子的现象。
至于黄鸟，“当葚熟时，来在桑间。故里语日：黄栗留看我麦黄葚熟否？亦是应趋时之鸟也”。既言其栖息地，又说明其迁移的季节。鱼类中的（鲟鱼）、鲔（白鲟），“出江海。三月中，从河下头（即江河入海口处）来（河）上（游）……今于盟津东石碛上钓取之……又河南巩县东北崖上山腹有穴，旧说此穴与江湖通，鲔从此穴而来，北入河西上龙门，人漆、沮”。即言鳢、鲔是生活于淡水和海水中的底栖鱼类；旧说虽不可信，但却言明，鲔由海入河的迥游路线及其迥游季节。“鲂，今伊、洛、济、颍鲂鱼也”。广而薄肥，恬而少肉，细鳞鱼之美者，渔阳、泉州及辽东梁水，鲂特肥而厚，尤美于中国鲂。故其乡语日“居就粮，梁水鲂”，颇有生态地理的观念。
其四，陆机不但对于动植物的形态、生态（种群生态）等描述真实，而且还特别注意到动植物的经济用途。如鼍（扬子鳄）“其皮坚厚，可以冒鼓”，鱼狸（斑海豹）的皮“今以为弓箭步叉者也”。对植物利用的描述更为突出，可供食用的植物，大都指出可食用部位，并注明食用方法。还提到一些材木的木理和用途，“条，木舀也，今山楸也……材理好，宜为车板。能湿（耐湿性能好），又可为棺木。”“柞……其木坚韧有刺，今人以为梳，亦可以为车轴；其材理全白无赤心者为白木妥。直理易破，可为犊车轴，又可为矛戟铩。”“棘……其木理赤者为赤棘，一名。白者为棘，其木皆坚韧毫今人以为车毂。”“木丑，木意也……材可为弓弩干也。”等等，而对一些草本植物如宁麻、塞（莎草），菅的用途也有记载。此外，还谈到一些野生植物如薇、常棣，木遂（鹿梨、鼠梨）已为人们栽培；动物中的鹤，白鹭已被人们驯养。
总之，陆机对动植物的观察和描述，坚持了实事求是的原则。古代人们都以麒麟（简称麟）为瑞兽，陆机根据“并州界（今山西中条山一带）有辚，大小如鹿”的形态特征，断认为并州的麟，“非瑞应麟”。因此，《毛诗草木鸟兽虫鱼疏》具有一定的科学水平。但是另方面，陆机毕竟运用的是直观描述的方法，因此也存在一些不足之处。例如对“螟蛉有子，果羸负之”的寄生现象视之为神秘。又说“桐有青桐、白桐、赤桐，宜琴瑟”，实则只有白桐（泡桐）才能制琴瑟等乐器。至于“云南、样舸人绩以为布”，也非陆机所说的桐。对“驺虞”的注释也带有迷信色彩。
尽管如此，《毛诗草木鸟兽虫鱼疏》不失为一部古典博物学著作，而陆机在研治经学的过程中独辟蹊径，使生物学从经学中分列出来成为一个分支，从而在我国古代传统经学中起到启迪后人的历史作用，在学术上产生良好的反响。东晋郭璞注《尔雅》中的动植物名，便大量引用陆机的著述。东魏农学家贾思勰《齐民要术》中也曾援引。北宋陆佃《埤雅》、南宋罗愿《尔雅翼》莫不以陆机《诗疏》为其范本。
第四节 祖冲之
古代著名的科学家
祖冲之（429~500）是我国南北朝时代南朝的一位著名科学家。
从420年东晋灭亡到589年隋朝统一全国的一百七十年中间，我国历史上形成了南北对立的局面，这一时期称作南北朝。南朝从420年东晋大将刘裕夺取帝位，建立宋政权开始，经历了宋、齐、梁、陈四个朝代。同南朝对峙的是北朝，北朝经历了北魏、东魏、西魏，北齐、北周等朝代。祖冲之是南朝人，出生在宋，死的时候已是南齐时期了。
当时由于南朝社会比较安定，农业和手工业都有显著的进步，经济和文化得到了迅速发展，从而也推动了科学的前进。因此，在这一段时期内，南朝出现了一些很有成就的科学家，祖冲之就是其中最杰出的人物之一。
祖冲之的原籍是范阳郡道县（今河北易县）。在西晋末年，祖家由于故乡遭到战争的破坏，迁到江南居住。祖冲之的祖父祖昌，曾在宋朝政府里担任过大匠卿，负责主持建筑工程，是掌握了一些科学技术知识的；同时，祖家历代对于天文历法都很有研究。因此祖冲之从小就有接触科学技术的机会。
祖冲之对于自然科学和文学、哲学都有广泛的兴趣，特别是对天文、数学和机械制造，更有强烈的爱好和深入的钻研。早在青年时期，他就有了博学多才的名声，并且被政府派到当时的一个学术研究机关——华林学省，去做研究工作。后来他又担任过地方官职。461年，他任南徐州（今江苏镇江）刺史府里的从事。464年，宋朝政府调他到娄县（今江苏昆山县东北）作县令。
祖冲之在这一段期间，虽然生活很不安定，但是仍然继续坚持学术研究，并且取得了很大的成就。他研究学术的态度非常严谨。他十分重视古人研究的成果，但又决不迷信古人。用他自己的话来说，就是：决不“虚推（盲目崇拜）古人”，而要“搜炼古今（从大量的古今著作中吸取精华）”。一方面，他对于古代科学家刘歆、张衡、阚泽、刘徽、刘洪、赵欧等人的著述都作了深入祖冲之的研究，充分吸取其中一切有用的东西。另一方面，他又敢于大胆怀疑前人在科学研究方面的结论，并通过实际观察和研究，加以修正补充，从而取得许多极有价值的科学成果。在天文历法方面，他所编制的《大明历》，是当时最精密的历法。在数学方面，他推算出准确到六位小数的圆周率，取得了当时世界上最优秀的成绩。
宋朝末年，祖冲之回到建康（今南京），担任谒者仆射的官职。从这时起，一直到齐朝初年，他花了较大的精力来研究机械制造，重造指南车，发明千里船、水碓磨等等，作出了出色的贡献。
当祖冲之晚年的时候，齐朝统治集团发生了内乱，政治腐败黑暗，人民生活非常痛苦。北朝的魏乘机发大兵向南进攻。从494年到500年间，江南一带又陷入战火。对于这种内忧外患重重逼迫的政治局面，祖冲之非常关心。大约在494年到498年之间，他担任长水校尉的官职。当时他写了一篇《安边论》，建议政府开垦荒地，发展农业，增强国力，安定民生，巩固国防。齐明帝看到了这篇文章，打算派祖冲之巡行四方，兴办一些有利于国计民生的事业。但是由于连年战争，他的建议始终没有能够实现。过不多久，这位卓越的大科学家活到72岁，就在公元500年的时候去世了。
改革历法
我国古代劳动人民，由于畜牧业和农业生产的需要，经过长时期的观察，发现了日月运行的基本规律。他们把第一次月圆或月缺到第二次月圆或月缺每拉的一段时间规定为一个月，每个月是二十九天多一点，十二个月称为一年。这种计年方法叫做阴历。他们又观察到：从第一个冬至到下一个冬至（实际上就是地球围绕太阳运行一周的时间）共需要三百六十五天又四分之一天，于是也把这一段时间称作一年。按照这种办法推算的历法通常叫做阳历。但是，阴历一年和阳历一年的天数，并不恰好相等。按照阴历计算，一年共计三百五十四天；按照阳历计算，一年应为三百六十五天五小时四十八分四十六秒。阴历一年比阳历一年要少十一天多。为了使这两种历法的天数一致起来，就必须想办法调整阴历一年的天数。对于这个问题，我们的祖先很早就找到了解决的办法，就是采用“闰月”的办法。在若干年内安排一个闰年，在每个闰年中加入一个闰月。每逢闰年，一年就有十三个月。由于采用了这种闰年的办法，阴历年和阳历年就比较符合了。
在古代，我国历法家一向把十九年定为计算闰年的单位，称为“一章”，在每一章里有七个闰年。也就是说，在十九个年头中，要有七个年头是十三个月。这种闰法一直采用了一千多年，不过它还不够周密、精确。公元412年，北凉赵欧创作《元始历》，才打破了岁章的限制，规定在六百年中间插入二百二十一个闰月。可惜赵欧的改革没有引起当时人的注意，例如著名历算家何承天在公元443年制作《元嘉历》时，还是采用十九年七闰的古法。
祖冲之吸取了赵欧的先进理论，加上他自己的观察，认为十九年七闰的闰数过多，每二百年就要差一天，而赵欧六百年二百二十一闰的闰数却又嫌稍稀，也不十分精密。因此，他提出于三百九十一年内一百四十四闰的新闰法。这个闰法在当时算是最精密的了。
除了改革闰法以外，祖冲之在历法研究上的另一重大成就，是破天荒第一次应用了“岁差”。
根据物理学原理，刚体在旋转运动时，假如丝毫不受外力的影响，旋转的方向和速度应该是一致的；如果受了外力影响，它的旋转速度就要发生周期性的变化。地球就是一个表面凹凸不平、形状不规则的刚体，在运行时常受其他星球吸引力的影响，因而旋转的速度总要发生一些周期性的变化，不可能是绝对均匀一致的。因此，每年太阳运行一周（实际上是地球绕太阳运行一周），不可能完全回到上一年的冬至点上，总要相差一个微小距离。按现在天文学家的精确计算，大约每年相差50.2秒，每七十一年八个月向后移一度。这种现象叫作岁差。
随着天文学的逐渐发展，我国古代科学家们渐渐发现了岁差的现象。西汉的邓平、东汉的刘歆、贾逵等人都曾观测出冬至点后移的现象，不过他们都还没有明确地指出岁差的存在。到东晋初年，天文学家虞喜才开始肯定岁差现象的存在，并且首先主张在历法中引入岁差。他给岁差提出了第一个数据，算出冬至日每五十年退后一度。后来到南朝宋的初年，何承天认为岁差每一百年差一度，但是他在他所制定的《元嘉历》中并没有应用岁差。
祖冲之继承了前人的科学研究成果，不但证实了岁差现象的存在，算出岁差是每四十五年十一个月后退一度，而且在他制作的《大明历》中应用了岁差。因为他所根据的天文史料都还是不够准确的，所以他提出的数据自然也不可能十分准确。尽管如此，祖冲之把岁差应用到历法中，在天文历法史上却是一个创举，为我国历法的改进揭开了新的一页。到了隋朝以后，岁差已为很多历法家所重视了，像隋朝的《大业历》、《皇极历》中都应用了岁差。
祖冲之在历法研究方面的第三个巨大贡献，就是能够求出历法中通常称为“交点月”的日数。
所谓交点月，就是月亮连续两次经过“黄道”和“白道”的交叉点，前后相隔的时间。黄道是指我们在地球上的人看到的太阳运行的轨道，白道是我们在地球上的人看到的月亮运行的轨道。交点月的日数是可以推算得出来的。祖冲之测得的交点月的日数是27.21223日，比过去天文学家测得的要精密得多，同近代天文学家所测得的交点月的日数27.21222日已极为近似。在当时天文学的水平下，祖冲之能得到这样精密的数字，成绩实在惊人。
由于日蚀和月蚀都是在黄道和白道交点的附近发生，所以推算出交点月的日数以后，就更能准确地推算出日蚀或月蚀发生的时间。祖冲之在他制订的《大明历》中，应用交点月推算出来的日、月蚀时间比过去准确，和实际出现日、月蚀的时间都很接近。
祖冲之根据上述的研究成果，终于制成了当时最科学、最进步的历法——《大明历》。这是祖冲之科学研究的天才结晶，也是他在天文历法上最卓越的贡献。
此外，祖冲之对木、水、火、金、土等五大行星在天空运行的轨道和运行一周所需的时间，也进行了观测和推算。我国古代科学家算出木星（古代称为岁星）每十二年运转一周。西汉刘歆作《三统历》时，发现木星运转一周不足十二年。祖冲之更进一步，算出木星运转一周的时间为11.858年。现代科学家推算木星运行的周期约为11.862年。祖冲之算得的结果，同这个数字仅仅相差0.04年。此外，祖冲之算出水星运转一周的时间为115.88日，这同近代天文学家测定的数字在两位小数以内完全一致。他算出金星运转一周的时间为583.93日，同现代科学家测定的数字仅差0.01日。
462年（宋大明六年），祖冲之把精心编成的《大明历》送给政府，请求公布实行。宋孝武帝命令懂得历法的官员对这部历法的优劣进行讨论。在讨论过程中，祖冲之遭到了以戴法兴为代表的守旧势力的反对。戴法兴是宋孝武帝的亲信大臣，很有权势。由于他带头反对新历，朝廷大小官员也随声附和，大家不赞成改变历法。
祖冲之为了坚持自己的正确主张，理直气壮地同戴法兴展开了一场激烈的辩论。
这一场关于新历法优劣的辩论，实际上反映了当时科学和反科学、进步和保守两种势力的尖锐斗争。戴法兴首先上书皇帝，从古书中抬出古圣先贤的招牌来压制祖冲之。他说，冬至时的太阳总在一定的位置上，这是古圣先贤测定的，是万世不能改变的。他说，祖冲之以为冬至点每年有稍微移动，是诬蔑了天，违背了圣人的经典。他又把当时通行的十九年七闰的历法，也说是古圣先贤所制定，永远不能更改。他甚至骂祖冲之是浅陋的凡夫俗子，没有资格谈改革历法。
祖冲之对权贵势力的攻击丝毫没有惧色。他写了一篇有名的驳议。他根据古代的文献记载和当时观测太阳的记录，证明冬至点是有变动的。他指出：事实十分明白，怎么可以信古而疑今。他又详细地举出多年来亲自观测冬至前后各天正午日影长短的变化，精确地推算出冬至的日期和时刻，从此说明十九年七闰是很不精密的。他责问说：旧的历法不精确，难道还应当永远用下去，永远不许改革。谁要说《大明历》不好，应当拿出确凿的证据来。
当时戴法兴指不出新历到底有哪些缺点，于是就争论到日行快慢、日影长短、月行快慢等等问题上去。祖冲之一项一项地据理力争，都驳倒了他。
在祖冲之理直气壮的驳斥下，戴法兴没话可以答辩了，竟蛮不讲理地说：“新历法再好也不能用。”祖冲之并没有被戴法兴这种蛮横态度吓倒，却坚决地表示：“决不应该盲目迷信古人。既然发现了旧历法的缺点，又确定了新历法有许多优点，就应当改用新的。”
在这场大辩论中，许多大臣被祖冲之精辟透彻的理论说服了，但是他们因为畏惧戴法兴的权势，不敢替祖冲之说话。最后有一个叫巢尚之的大臣出来对祖冲之表示支持。他说《大明历》是祖冲之多年研究的成果，根据《大明历》来推算元嘉十三年（436）、十四年、二十八年、大明三年（459）的四次月蚀都很准确，用旧历法推算的结果误差就很大，《大明历》既然由事实证明比较好，就应当采用。
这样一来，戴法兴只有哑口无言。祖冲之取得了最后胜利。宋孝武帝决定在大明九年（465）改行新历。谁知大明八年孝武帝死了，接着统治集团内发生变乱，改历这件事就被搁置起来。一直到梁朝天监九年（510），新历才被正式采用，可是那时祖冲之已去世十年了。
圆周率研究的重大贡献
祖冲之不但精通天文、历法，他在数学方面的贡献，特别对“圆周率”研究的杰出成就，更是超越前代，在世界数学史上放射着异彩。
我们都知道圆周率就是圆的周长和同一圆的直径的比，这个比值是一个常数，现在通用希腊字母“π”来表示。圆周率是一个永远除不尽的无穷小数，它不能用分数、有限小数或循环小数完全准确地表示出来。由于现代数学的进步，已计算出了小数点后两千多位数字的圆周率。
圆周率的应用很广泛。尤其是在天文、历法方面，凡牵涉到圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。我国古代劳动人民在生产实践中求得的最早的圆周率值是“3”，这当然很不精密，但一直被沿用到西汉。后来，随着天文、数学等科学的发展，研究圆周率的人越来越多了。西汉末年的刘歆首先抛弃“3”这个不精确的圆周率值，他曾经采用过的圆周率是3.1547.东汉的张衡也算出圆周率为10=3.1622.这些数值比起π=3当然有了很大的进步，但是还远远不够精密。到了三国末年，数学家刘徽创造了用割圆术来求圆周率的方法，圆周率的研究才获得了重大的进展。
用割圆术来求圆周率的方法，大致是这样：先作一个圆，再在圆内作一内接正六边形。假设这圆的直径是2，那末半径就等于1.内接正六边形的一边一定等于半径，所以也等于1；它的周长就等于6.如果把内接正六边形的周长6当作圆的周长，用直径2去除，得到周长与直径的比π=62=3，这就是古代π=3的数值。但是这个数值是不正确的，我们可以清楚地看出内接正六边形的周长远远小于圆周的周长。
如果我们把内接正六边形的边数加倍，改为内接正十二边形，再用适当方法求出它的周长，那么我们就可以看出，这个周长比内接正六边形的周长更接近圆的周长，这个内接正十二边形的面积也更接近圆面积。从这里就可以得到这样一个结论：圆内所做的内接正多边形的边数越多，它各边相加的总长度（周长）和圆周周长之间的差额就越小。从理论上来讲，如果内接正多边形的边数增加到无限多时，那时正多边形的周界就会同圆周密切重合在一起，从此计算出来的内接无限正多边形的面积，也就和圆面积相等了。不过事实上，我们不可能把内接正多边形的边数增加到无限多，而使这无限正多边形的周界同圆周重合。只能有限度地增加内接正多边形的边数，使它的周界和圆周接近重合。所以用增加圆的内接正多边形边数的办法求圆周率，得数永远稍小于的真实数值。刘徽就是根据这个道理，从圆内接正六边形开始，逐次加倍地增加边数，一直计算到内接正九十六边形为止，求得了圆周率是3.141024.把这个数化为分数，就是50157.
刘徽所求得的圆周率，后来被称为“徽率”。他这种计算方法，实际上已具备了近代数学中的极限概念。这是我国古代关于圆周率的研究的一个光辉成就。
祖冲之在推求圆周率方面又获得了超越前人的重大成就。根据《隋书，律历志》的记载，祖冲之把一丈化为一亿忽，以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数：一个是盈数（即过剩的近似值），为3.1415927；一个是月肉数（即不足的近似值），为3.1415926.圆周率真值正好在盈月肉两数之间。《隋书》只有这样简单的记载，没有具体说明他是用什么方法计算出来的。不过从当时的数学水平来看，除刘徽的割圆术外；还没有更好的方法。祖冲之很可能就是采用了这种方法。因为采用刘徽的方法，把圆的内接正多边形的边数增多到24576边时，便恰好可以得出祖冲之所求得的结果。
盈月肉两数可以列成不等式，如：
3.1415926（月肉）＜π（真实的圆周率）＜3.1415927（盈），这表明圆周率应在盈月肉两数之间。按照当时计算都用分数的习惯，祖冲之还采用了两个分数值的圆周率。一个是355111（约等于3.1415927），这一个数比较精密，所以祖冲之称它为“密率”。另一个是227（约等于3.14），这一个数比较粗疏，所以祖冲之称它为“约率”。在欧洲，直到1573年才由德国数学家渥脱求出了355113这个数值。因此，日本数学家三上义夫曾建议把355113这个圆周率数值称为“祖率”，来纪念这位中国的大数学家。
由于祖冲之所著的数学专著《缀术》已经失传，《隋书》又没有具体地记载他求圆周率的方法，因此，我国研究祖国数学遗产的专家们，对于他求圆周率的方法还有不同的见解。
有人认为祖冲之圆周率中的“肭数”。是用作圆的内接正多边形的方法求得的；而“盈数”则是用作圆的外切正多边形的方法求得的。祖冲之如果继续用刘徽的办法，从圆的内接正六边形算起，逐次加倍边数，一直算到内接正24576边形时，它的各边长度总和只能逐次接近并较小于圆周的周长，这正多边形的面积也只能逐次接近并较小于圆面积，从此求出的圆周率为3.14159261，也只能小于圆周率的真实数值，这就是肭数。从祖冲之的数学水平看，突破刘徽的方法，从外切正六边形算起，逐次试求圆周率，也是可能的。如果祖冲之把外切正六边形的边数成倍增加，到正24576边形时，他所求得的圆周率应该是3.14159270208.这个数是用外切方法求得的。由于外切正多边形各边边长的总和永远大于圆周的长度，这正多边形的面积也永远大于圆面积，所以这个数总比真实的圆周率大。用四舍五入法舍去小数点七位以后的数字，就得出盈数。
祖冲之究竟是否同时用过内接和外切这两个方法求出圆周率的月肉数和盈数，是没有确切史料可以证实的。但是采用这个办法所求出的肭、盈两个数值，和祖冲之原来所求出的结果大体是一致的。所以有些数学史家认为祖冲之曾用过作圆的外切正多边形的方法求得圆周率，是很近情理的推想。
但是根据另一些数学史家的研究，盈、肭两数也可以由计算圆内接正12288边形和正24576边形的边长而得出来。不过这种计算比较难懂，这里不说了。
尽管说法有出入，但是祖冲之曾经求得“密率”，并且明确地用上、下两限来说明圆周率这个数值的范围，是可以肯定的。在一千五百年前，他有这样的成就和认识，真值得我们钦佩。
在推算圆周率时，祖冲之付出了不知多少辛勤的劳动。如果从正六边形算起，算到2457《隋书·律历志》6边时，就要把同一运算程序反复进行十二次，而且每一运算程序又包括加减乘除和开方等十多个步骤。我们现在用纸笔算盘来进行这样的计算，也是极其吃力的。当时祖冲之进行这样繁难的计算，只能用筹码（小竹棍）来逐步推演。如果头脑不是十分冷静精细，没有坚忍不拔的毅力，是绝对不会成功的。祖冲之顽强刻苦的研究精神，是很值得推崇的。
祖冲之死后，他的儿子祖日恒之继续父亲的研究，进一步发现了计算圆球体积的方法。
在我国古代数学著作《九章算术》中，曾列有计算圆球体积的公式，但很不精确。刘徽虽然曾经指出过它的错误，但究竟应当怎样计算，他也没有求得解决。经祖眶刻苦钻研，终于找到了正确的计算方法。他所推算出的计算圆球体积的公式是：圆球体积=π6D3（D代表球体直径）。这个公式一直到今天还被人们采用着。
祖冲之还曾写过《缀术》五卷，是一部内容极为精彩的数学书，很受人们重视。唐朝的官办学校的算学科中规定：学员要学《缀术》四年；政府举行数学考试时，多从《缀术》中出题。后来这部书曾经传到朝鲜和日本。可惜到了北宋中期，这部有价值的著作竟失传了。
机械制造和音乐、哲学方面的成就
指南车是一种用来指示方向的车子。车中装有机械，车上装有木人。车子开行之前，先把木人的手指向南方，不论车子怎样转弯，木人的手始终指向南方不变。这种车子结构已经失传，但是根据文献记载，可以知道它是利用齿轮互相带动的结构制成的。相传远古时代黄帝对蚩尤作战，曾经使用过指南车来辨别方向，但这不过是一种传说。根据历史文献记载，三国时代的发明家马钧曾经制造过这种指南车，可惜后来失传了。公元417年东晋大将刘裕（也就是后来宋朝的开国皇帝）进军至长安时，曾获得后秦统治者姚兴的一辆旧指南车，车子里面的机械已经散失，车子行走时，只能由人来转动木人的手，使它指向南方。后来齐高帝萧道成就令祖冲之仿制。祖冲之所制指南车的内部机件全是铜的。制成后，萧道成就派大臣王僧虔、刘休两人去试验，结果证明它的构造精巧，运转灵活，无论怎样转弯，木人的手常常指向南方。
当祖冲之制成指南车的时候，北朝有一个名叫索驭的来到南朝，自称也会制造指南车。于是萧道成也让他制成一辆，在皇宫里的乐游苑和祖冲之所制造的指南车比赛。结果祖冲之所制的指南车运转自如，索驭磷所制的却很不灵活。索驭只得认输，并把自己制的指南车毁掉了。祖冲之制造的指南车，我们虽然已无法看到原物，但是由这件事可以想象，它的构造一定是很精巧的。
祖冲之也制造了很有用的劳动工具。他看到劳动人民舂米、磨粉很费力，就创造了一种粮食加工工具，叫作水碓磨。古代劳动人民很早就发明了利用水力舂米的水碓和磨粉的水磨。西晋初年，杜预曾经加以改进，发明了“连机碓”和“水转连磨”。一个连机碓能带动好几个石杵一起一落地舂米；一个水转连磨能带动八个磨同时磨粉。祖冲之又在这个基础上进一步加以改进，把水碓和水磨结合起来，生产效率就更加提高了。这种工具，现在我国南方有些农村还在使用着。
祖冲之还设计制造过一种千里船。它可能是利用轮子激水前进的原理造成的，一天能行一百多里。
祖冲之还根据春秋时代文献的记载，制了一个“欹器”，送给齐武帝的第二个儿子萧子良。欹器是古人用来警诫自满的器具。器内没有水的时候，是侧向一边的。里面盛水以后，如果水量适中，它就竖立起来；如果水满了，它又会倒向一边，把水泼出去。这种器具，晋朝的学者杜预曾试制三次，都没有成功；祖冲之却仿制成功了。由此可见，祖冲之对各种机械都有深刻的研究。
祖冲之的成就不仅限于自然科学方面，他还精通乐理，对于音律很有研究。
此外，祖冲之又著有《易义》、《老子义》、《庄子义》、《释论语》等关于哲学的书籍，都已经失传了。
祖冲之的儿子祖日恒，也是一位杰出的数学家，他继承他父亲的研究，创立了球体体积的正确算法。在天文方面，他也能继承父业。他曾著《天文录》三十卷，《天文录经要诀》一卷，可惜这些书都失传了。他父亲制定的《大明历》，就是经他三次向梁朝政府建议，才被正式采用的。他还制造过记时用的漏壶，造得很准确，并且作过一部《漏刻经》。
祖冲之在天文、历法、数学以及机械制造等方面的辉煌成就，充分表现了我国古代科学的高度发展水平。
祖冲之所以能够取得这样辉煌的成就，并不是偶然的。首先，当时社会生产正在逐步发展，需要有一定的科学成就来配合前进，因而就推动了科学的进步，祖冲之就在这时候取得了天文、数学和器械制造等方面的成绩。其次，从上古到这时候，在千百年的长时期中，已积累了不少科学成果，祖冲之就在前人创造的基础上做出了他的成绩。至于祖冲之个人的认真学习，刻苦钻研，不迷信古人，不畏惧守旧势力，不怕斗争，不避艰难，自然也都是取得杰出成就的重要原因。
祖冲之不仅是我国历史上杰出的科学家，而且在世界科学发展史上也有崇高的地位。祖冲之创造“密率”，是世界闻名的。我们应该纪念像祖冲之这样的科学家，珍视他们的宝贵遗产。
