瑞士数学家雅各·伯努利（1654~1705），是当年著名的伯努利数学家族中的佼佼者。他对无穷级数很有研究，也求出过一些无穷级数的和。
112+122+132+……，被称为伯努利级数。但是，“伯努利级数”却“徒有虚名”——伯努利对这级数的求和问题一筹莫展。于是他声称，如果谁能求出这个无穷级数的和并把方法告诉他，他将非常感激。但伯努利一直未能如愿以偿，直至生命的终结。
伯努利死后两年，欧拉出生了。他求得这个和为π2/6。
那么，欧拉是用什么方法求得这个和的呢？
欧拉设2n次代数方程（1）b0—b1x2+b2x4—……+（—1）nbnx2n=0的2n个不同的根是：±β1，±β2……±βn。
我们知道，两个代数方程如果有相同的根，而且常数项相等，那么其他项的系数也应分别相等，所以有b0—b1x2+b2x4—……+（—1）nbnx2n=b0（1—x2/β21）（1—x2/β22……（1—x2/β2n）。
比较上式等号两边x2的系数，就得到方程（2）b1=b0（1/β21+1/β22+……+1/β2n）。
现在，考虑三角方程sinx=0，它有无穷多个根：0，±π，±2π……把sinx展开为级数后的方程两边除以x，就得到方程（3）1—x2/3！+x4/5！—x6/7！+……=0。
显然，（3）的根是：±π，±2π……
本来，（3）的左方有无穷多项，也不是代数方程，明显与（1）不同。但是，欧拉不管这些，硬拿（3）与（1）来做类比，并对（3）运用（2），就得到1/3！=1/π2+1/（2π）2+1/（3π）2+……
这个式子就是有名的π2/6=1+1/22+1/32+……
这样，欧拉就解决了“伯努利难题”。其结果刊登在1734年欧拉的一篇文章中。
从以上可以看出，类比推理的基本过程是5个：确定研究对象；寻找类比对象；将研究对象和类比对象进行比较，找出它们之间的相似关系；根据研究对象的已知信息，对相似关系进行重新处理；将类比对象的有关知识类推到研究对象上。
将这5个过程综合起来，就得到以下类比推理的动态结构图：
欧拉的类比虽然巧妙、大胆，但却有失严密。因为虽然“一元n次方程有n个根”是成立的，但没有“一元无限次方程有无限个根”这个定理，更不知道一元无限次方程的根与系数的关系。因此一些人指责他将有限项方程过渡到无限项方程缺乏可靠的逻辑依据。这正是：“常恨时人新意少，木秀于林又招风。”
欧拉自己也认识到这一点。因此，他不为求得答案而满足，而是采用其他方法继续研究，以回答这些人对他的诘难。欧拉最终找到了求该级数和的严格方法，并发表在他的大作《无穷分析引论》之中，这本书于1748年在瑞士洛桑出版。
欧拉通过有失严密但却巧妙、大胆的类比，得到了正确的结论。从这件事中，我们可以得到以下有益的启示。
在科学研究中，不能囿于现成的“严格”理论而裹足不前，不敢越雷池一步，不敢进行创新，否则就会错过碰到鼻子尖的真理而一事无成。
挪威数学家阿贝尔（1802~1829）在1826年写道：“在数学中几乎没有一个无穷级数是以严格的方式确定出来的。”所以，我们要敢于冲破“有限”，直取“无穷”，进而得到真理。如果事事要有依据，墨守原有理论，就不可能走得更远。正如英国数学家拉姆（1849~1934）那广为流传的名言所说：“一个非亲自检查桥梁每一部分的坚固性而不过桥的旅行者，是不可能远行的。冒险尝试是必要的，在数学领域也应如此。”中国著名学者王梓坤（1929~）也深谙此道：“在科学研究中，不仅需要严格，而且还需要‘不严格’……”
事实上，在科学史中从“不严密”出发得出“严密”的例子不止一个。
在17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹发明微积分理论的时候，使用了“不严密”的“无穷小”。他们将无穷小“招之即来，挥之即去”的做法并不严密，因而遭到许多人的反对，但这并不影响微积分理论的正确性。19世纪后半叶，人们终于用严密的极限理论代替了无穷小，使微积分理论建立在可靠的基础之上，达到了微积分理论的“严密”。
对于欧拉的创新，我们不妨借英国哲学家弗朗西斯·培根（1561~1626）来赞赏：“推理建立起来的公理不足以产生新的发现，因为自然界的奥秘远胜过推理的奥秘。”
科学的活水，永远在创新的河床上奔流……
