华佗
不怕威胁、不为利诱的医生
华佗也是一个为我国广大人民所尊崇、怀念的名医。
华佗生于公元2世纪（在东汉和三国间），比扁鹊要迟六七百年。他是沛国（治所在今安徽宿县西北）谯（今安徽亳州）人。他从小就能刻苦钻研学问，精通各种经书，尤其喜爱研究医学和养生的方法。后来他去徐州（州治在今山东郯城西南）游学，拜名医做老师，再加上自己不断的努力，终于获得了渊博的医学知识。内科、外科、妇科、小儿科和针灸科等，他样样精通，外科医术尤其高明，因而后世尊称他为外科的祖师。他医病的方法很多，而且简便易行，用药不过几种，给病人针灸，取穴也不过几处，但疗效很高，当时的人都称他为神医。
华佗除了有非常高明的医术以外，还有不慕名利的可贵品质。沛国相陈珪曾经推荐他做孝廉，太尉黄琬也曾征聘他去做官，他都一概拒绝了。他宁愿捏着金箍铃，到处奔跑，为人民大众治病。彭城（今江苏徐州市）、广陵（今江苏扬州市）、甘陵（今山东临清市）、盐渎（今江苏盐城西北）、东阳（今山东恩县西北的东阳城）、琅玡（今山东临沂市北）一带，是华佗当时的主要行医的地方，这一带的人民没有不赞扬他的。到现在，江苏徐州还有华佗的纪念墓，沛县也还有华祖庙。
三国时的曹操常常患头风眩，医了好久没有见效，听说华佗的医术高明，就请他医治。华佗替他扎了一针，头便不痛了，因此曹操强要华佗当自己的侍医（私人医生），供他一个人使唤。华佗既是一个不慕名利的人，当然不愿意做曹操的侍医。他借口妻子有病，告假回家，不再到曹操那里去了。曹操愤怒极了，派人到华佗家里去调查。曹操对派去的人说：如果华佗的妻子果然有病，就送给他小豆四十斛（一斛就是一石）；要是没有病，就把他逮捕来办罪。
传说华佗被逮捕送到曹操那里以后，曹操仍旧请他治病。他给曹操诊断了以后，对曹操说：丞相的病已经很沉重，不是针灸可以见效的了，我想还是先给你服“麻沸散”（解说见后），然后剖开头颅，施行手术，这才能除掉病根。曹操认为华佗有意谋害他，大发脾气，把华佗关进牢狱里。后来，华佗就被曹操杀害了。
在被逮捕送往曹操那里去的路上，华佗还给人治病。被关进牢狱以后，他知道曹操不会放过他的，于是抑制住悲愤的心情，逐字逐句地整理他的三卷医学著作——《青囊经》，希望把自己的医术流传下去。这三卷著作整理好以后，华佗把它交给牢头，牢头不敢接受。在极度失望之下，华佗把它掷在火盆里烧掉。牢头这时候才觉得可惜，慌忙去抢，只抢出一卷，据说这一卷是关于医治兽病的记载。
从这里可以看出华佗是一个有骨气的人，他具有不怕威胁，不为利诱的高贵品质。
华佗没有留下专门著作。这是我国医学的一个重大损失。《中藏经》《华佗方》等医书，虽被人认为是他的著作，实际上却都是后人假托的。
华佗的弟子有吴普、李当之、樊阿等人。吴普著有《吴普本草》，李当之著有《本草经》，樊阿精于针灸，在医学上都有很大的成就。
麻醉术的发明者
华佗在医学上的贡献很大。华佗最出色的是外科手术。为了施行手术的需要，他总结前人的经验，利用酒能够使人麻醉的性能，发明了“麻沸散”。病人用酒服麻沸散后，便会完全失去知觉，剖腹割背也不会感到痛苦。华佗除用手术来治外科病以外，还常用外科手术来医治内脏的疾病。华佗能把内脏的病变部分割掉，或者加以洗涤。动了手术以后，伤口用丝线缝合，敷上特别配制的药膏，据说四五天后便可以愈合，一个月左右便可以平复。
麻沸散的配制方法，早已失传，后人虽有种种推想，但都不可靠。不过，华佗在一千七百年前已经能用麻醉法来进行外科手术，则是毫无疑义的。这是他对祖国医学上的一个卓越的贡献。
外科绝技
关于华佗的高明的外科手术，流传下来许许多多的故事。
据说有一次，华佗家里送来了一个肚子痛得十分厉害的病人。华佗按了病人的脉搏，再按揿了他的肚子以后，断定这个人患的是肠痈（就是盲肠炎）。华佗认为针灸已经迟了，非开刀不可。于是他就给病人服了麻沸散，并施行了剖腹手术，割去溃烂的盲肠，然后再用丝线扎好，敷上药膏。经过华佗的手术以后，这人的病就完全好了，不久伤口也结上了疤，一个多月以后就能干活了。
又有一次，一个孕妇请华佗看病，华佗诊断这妇人是受了伤，但胎儿还未落下来。妇人的丈夫知道自己妻子受了伤以后，胎儿已经落下来了，认为华佗的诊断不太正确，不要华佗给她治疗。过了一百天左右，这妇人又来找华佗了。华佗诊察了以后，仍旧断定胎儿没有下来，并且说，她原来怀的是双胞胎，上次落下了一个胎儿，失血过多，身体大大亏损，因而留在肚子里的胎儿也不能生长了。华佗还断定这胎儿已经死了，要是不把这个已死的胎儿弄下来，产妇就活不成了。于是华佗先给产妇扎针和服药，服药以后，产妇虽然肚子很痛，但胎儿还是下不来。于是华佗请另外一个妇人给这个孕妇按摩，果然取下一个死胎。
还有一个病人，肚子的中部痛了十多天，胡子和眉毛都因而脱落了，来请华佗诊治。华佗认为是脾脏腐烂，应该剖腹割治。经过华佗把他内脏的腐烂部分割掉，敷上药膏，并给他服了汤药，一百天以后，这人也恢复了健康。
神医华佗塑像小说《三国演义》里还有华佗替关羽“刮骨疗毒”的故事。据说关羽镇守襄阳（今湖北襄阳县）的时候，在战场上中了毒箭，臂膀红肿，请华佗医治。华佗建议关羽服麻沸散后再动手术，关羽认为不必服麻沸散。于是华佗把关羽的手臂缚在木架上，用刀割去腐烂的皮肉，一直刮到骨头上，关羽却一面下棋饮酒，谈笑自如。经过华佗手术以后，关羽才没有丧命。这事虽然不见于史书，但《襄阳府志》里却有这段记载。
华佗给人治病总是灵活地根据病人的实际情况，找出病源，然后决定疗法，决不为表面的现象所迷惑，也决不生搬硬套。例如，有两人都头痛发热，一同来请华佗治病。一个叫倪寻，一个叫李延。华佗细细诊察了他们的病情以后，知道两人的病象虽然相像，但致病的原因不同，于是给倪寻吃泻药，而给李延吃发散的药。当时有人问华佗说，他们两人患同样的毛病，为什么给他们服不同的药品？华佗就告诉他，倪寻是伤食（吃东西太多而生的病），李延是外感（受冷感冒），病状相同而病源不同，所以给他们吃的药也就不同。倪寻和李延服药以后，到了第二天，病都好了。
华佗还能用心理疗法来医治疾病。相传有一个郡守病了，请华佗给他医治。华佗诊断出他的病不是一般药物可以医治的，而只有在大怒之下才可痊愈。因此，华佗不给他开药方，反而向他索取了很多的诊金，并且大摆架子。几天以后，华佗偷偷地走开，留下一封信，信里把郡守大骂一通。果然不出华佗所料，郡守因为他的这种无礼举动大为愤怒，派人追捕，要把华佗杀掉。郡守的儿子知道内情，故意阻止。这使郡守越发激怒。盛怒之下，郡守吐了一摊黑血，病也就好了。这个传说虽然不一定可靠，但无疑是对华佗灵活运用心理疗法医治疾病的赞扬。
传说华佗还用冷水浴来给人治病。有个妇人患寒热病，经年不能痊愈，去找华佗给她医治。当时正是十一月里，天气非常寒冷，华佗叫她坐在石槽里，用冷水浇灌，然后用火来使她温暖，并且用厚被把她蒙盖起来。这妇人出汗以后，病果然痊愈了。
华佗也很善于用民间单方来治病。据说有一次华佗在路上遇着一个因咽喉阻塞吃不下东西而呻吟着的病人。华佗告诉他可以向路旁卖饼的人买三两蒜齑和三升酸醋，调好后吃下去，病就可以治好。病人依照他的话做了，不一会就吐出一条虫来，病也就完全好了。
“五禽之戏”和华佗的成就
华佗除了有很高明的医术以外，还是医疗体育的创始人。他继承并且发扬了我国古代“圣人不治已病，治未病”的传统思想，否定了方士可以使人长生不老的鬼话，批评了单纯的医疗观点。他认为每个人都应该进行体育锻炼，来增强体质、预防疾病，以达到延年益寿的目的。这是华佗对人们健康的另一贡献。
华佗常用“户枢不蠹，流水不腐”这两句话来说明他的这种思想。这意思是说：譬如门上的转轴，由于天天转动，所以不至于被虫蛀坏；流着的水，也因为经常在运动，所以不会腐败发臭。根据这个原则，华佗创造出一种叫做“五禽之戏”的体育活动来。
所谓五禽，就是虎、鹿、熊、猿、鸟。华佗把虎的扑动前肢、鹿的伸转头颈、熊的卧倒身子、猿的脚尖纵跳、鸟的张翅飞翔等动作，联系起来，编成一整套使全身肌肉和关节都得到舒展的体操。他的弟子吴普和樊阿用这方法来锻炼身体，增强了体质。吴普到90多岁时，听觉和视觉都很好，牙齿也很坚固；樊阿活到100多岁，身体也很健康。华佗把这套锻炼身体的方法，到处推广，使很多的人受到好处。
华佗在一千七百年前就创造了这样一套合乎科学的医疗体育和锻炼身体的方法，是他留给我们的宝贵遗产。
华佗在医学上所以能够获得这样巨大的成就，除了他的刻苦钻研、虚心学习以外，同时也由于他能勇于打破迷信、不受传统的束缚而又能接受前人有用的遗产，由于他能重视人民大众宝贵的经验。
用汤药和针灸等方法治不好的内脏病症，便用外科手术来治疗，这是华佗的重大贡献。但这种治疗方法在当时却受到医学界有守旧思想的人的攻击，他们认为用剖割手术会使人的元气大受损伤，经过剖割手术的人，即使不死，也活不长久。这些人的攻击并没有使华佗畏缩不前，他为了替人们解除痛苦，毅然决然地继续钻研并利用外科手术来治病，以事实来回答这种攻击。结果，华佗博得了广大人民的信任，把我国医学向前推进了一步。
五禽之戏是华佗批判地接受前人遗产的好例子。从秦朝以来，迷信修仙的人讲究“导引”，这就是模仿动物的动作，活动全身，以求长生不老的方法。华佗抛弃了其中的迷信部分，而吸收了合理的部分，并且加以发展和系统化，因而创造了这一套合乎科学的锻炼身体的方法。
上面说到华佗用蒜齑和醋这个民间单方来医治寄生虫病，是他重视人民大众宝贵医疗经验的证明。华佗一生游历了不少地方，到处采集草药并且向老百姓请教，他把所获得的丰富知识加以总结和提高，并因病人的特殊情况而决定医治方法和用药的分量，所以能够得到很好的医疗效果。相传有一个樵夫在深山里迷了路，肚子很饿，看见有个隐士在采黄芝吃，他也采了几枚，吃了很耐饿。樵夫回家后把这事告诉华佗，华佗就上山去采集，经过实验证明黄芝有很高的营养价值。华佗就用黄芝来配入药方，作为强壮剂。这也是一个很好的例子。
华佗替人治病也是处处从实际需要出发的。东汉末年是一个军阀混战的时代，安徽、山东、江苏一带，战事尤其频繁。在战争中被杀伤的人很多，对于外科的需要自然是很迫切的，华佗因此特别努力于外科医学的钻研，他发明麻醉法和能掌握非常高明的外科手术，都与这种实际需要有关。
刘徽
刘徽，淄乡（今山东邹平）人。生卒年不详，活动于公元3世纪，数学家。
刘徽自述“幼习《九章》，长再详览，观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”。《晋书》《隋书》之“律历志”称“魏陈留王景元四年（263）刘徽注《九章》”。《九章算术注》原10卷，第10卷“重差”为刘徽自撰自注，大约在南北朝后期单行，《九章算术》圆田术及刘徽注书影因其第l问为测望海岛之高、远，遂称为《海岛算经》。唐李淳风编纂《算经十书》，刘、李注《九章算术》与《海岛算经》并列为其中的两部。刘徽又著《九章重差图》l卷，已失传。刘徽在北宋大观三年（1109）被封为淄乡男。同时所封60余人，多依其里贯。据《汉书》“地理志”“王子侯表”以及北宋王存《元丰九域志》所载资料考证，淄乡在今山东省邹平县境，汉淄乡侯为文帝子梁王刘武之后。
《九章算术》及刘徽前的中国数学
刘徽登上数学舞台时，面对着一分堪称丰厚而又有严重缺陷的数学遗产。其基本情况是：世界上当时最先进的十进位值制记数法和计算工具算筹在中国使用已千年左右，算筹的截面已由圆变方，长度缩短为8~9厘米，筹算四则运算法则已确立。西汉张苍、耿寿昌在先秦遗文基础上删补而成的《九章算术》集先秦到西汉中国数学知识之大成，并在东汉成为官方制造法定度量衡器所依据的数学经典。《九章算术》包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九部分内容，奠定了中国古代数学的基本框架；提出了近百个一般性公式、算法，确立了以计算为中心的特点；含有246个应用题，体现了数学密切联系实际的风格；确定了中国古代数学著作算法统率应用问题的基本形式。它提出了完整的分数四则运算法则，比例和比例分配法则，开平方、开立方法则，盈不足术，方程术（即线性方程组解法），正负数加减法则，若干面积、体积公式及解勾股形公式，除个别失误外，都是正确的，许多成就处于当时世界领先地位。《九章算术》之后，中国数学著述采取两种形式，一是为《九章算术》作注，一是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。但是，《九章算术》只有术文、例题和答案，没有任何证明。汉魏时期，许多学者如马续、张衡、郑玄、刘洪、徐岳、阚泽等都研究过《九章算术》，他们的著作失传，但由刘徽《九章算术注》中“采其所见”者，可以了解其大概。数学家们力图改进圆周率值，成绩却不理想，如张衡求得π=10，可见并未找到求圆周率的正确方法。人们广泛使用出入相补方法证明几何问题。对平面图形，后人称作图验法，在直线形中，它是可靠的，但在曲线形中，却不能真正完成证明。对立体图形，后人称作菜验法。刘徽说：“说算者乃立菜三品，以效高深之积。”三品扥即长、宽、高均1尺的立方、堑堵（斜解立方得两堑堵）、阳马（即直角四棱锥，斜解堑堵得一阳马，及一鳖臑，即各面均为勾股形的四面体）。一般说来，扥验法只可用来验证标准形立体（即可分解或拼合成三品扥者）的体积公式，对一般情形则无能为力。人们在论证圆锥、圆亭、球等体积公式时，采用比较其底面积的方法。这是祖眍原理的最初阶段。齐同原理在数学计算中已经使用。总之，人们尽管在论证《九章算术》公式的正确性上作了可贵的努力，为刘徽采其所见准备了丰富的资料，但这些方法多属归纳论证，对《九章算术》大多难度较大的算法尚未给出严格证明，它的某些错误没有被指出。刘徽之前的数学水平没有在《九章算术》的基础上推进多少，这就给刘徽“探赜之暇，遂悟其意”，留下了驰骋的天地。自然，他的业绩主要在数学理论方面。
算法及其纲纪——率
长于定量分析，以算法为中心，是中国古代数学的特点。《九章算术》上百个一般性公式、解法，每个都是一种算法，除个别失误外，都具有完全确定性、普适性和有效性等现代算法理论对算法的要求。刘徽《九章算术注》的主要篇幅在于对《九章算术》算法的正确性进行证明论述。进行计算，关键在于找到一种量作为标准，进而找到各种量之间的关系，这就是率。率的本意是规格、标准。经过《孟子》《墨子》《周髀》等阶段的演变，到《九章算术》，率成了一个明确的数学概念。刘徽认为“凡九数以为篇名，可以广施诸率”，借助率论证了《九章算术》的大部分算法，约200个题目，使率的应用空前广泛深化，把率概念提高到理论的高度。刘徽给出了率的定义：“凡数相与者谓之率。”相与即相关，数在这里是量。一组量，如果它们相关，就称为率。由此刘徽得出率的性质：“凡所得率知，细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已。”换言之，一组有率关系的数，在投入运算时，其中一个扩大（或缩小）某一倍数，其余的数必须同时扩大（或缩小）同一倍数。刘徽进而提出了率的三种等量变换：乘以散之，约以聚之，齐同以通之。它们最初都是从分数运算抽象出来的。分数的分母、分子可以看作相与的两个量，因而成率关系，关于分数的三种等量变换自然推广到率中来。实际上，刘徽关于率的定义就是在经分术（分数除法）注中提出来的。成率关系的一组数若有等数（公因子），则可用此等数约所有的数，是为约以聚之。相反，对成率关系的一组数可以同时扩大某倍数而不改变率关系，是为乘以散之。利用这两种等量变换可以把成率关系的一组数化成没有公因子的一组整数，从而提出了相与率的概念。“等除法实，相与率也”。刘徽的运算大都使用相与率。只有将几个分数化成同一分数单位才能作加减运算，于是产生了齐同术。刘徽说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也。”同样，对比较复杂的问题，常常有相关的分别成率关系的两组或几组数，要通过齐同，化成有同一率关系的一组数，齐同原理成为率的一种重要运算。刘徽说：“齐同之术要矣，错综度数，动之斯谐，其犹佩角朾解结，无望而不理焉。”刘徽对齐同原理的应用是多方面的。若甲、乙之率为a，b，乙、丙之率为c，d，欲从甲求丙，可以先从甲求乙，再从乙求丙，称为重今有术。刘徽认为，亦可应用齐同原理，先同乙之率，为bc，再使甲、丙之率与乙相齐，分别为ac，bd，则三率悉通，然后应用今有术。刘徽指出。“凡率错互不通者，皆积齐同用之。放此，虽四五转不异也；”刘徽创造的方程新术，就是先求出诸物的两两相与之率，再通过齐同，化成同一率关系，用今有术或衰分术求解。同一问题，同什么量，齐什么量，可以灵活运用。对均输章第20—26问即凫雁类问题，刘徽提出了两种齐同途径。凫雁问是：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢？”其解法，可以“齐其至，同其日”，则63日凫9至，雁7至。“今凫雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同”，639+7为相逢日。亦可同其距离的分割，齐其日速。南北海距离63分，凫日行9分，雁日行7分。并凫雁一日所行，以除南北海距离，而得相逢日。两种方式，殊途同归，都证明了《九章算术》术文的正确性。盈不足问题在《九章算术》中占有重要地位。即使一般算术问题，通过两次假设，都可以化成盈不足问题（在非线性问题只可得近似解）。《九章算术》首先给出了一般方法：“置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实，并盈、不足为法。实如法而一。”设所出a1，盈b1，所出a2，不足b2，则不盈不朒之正数为a1b2+a2b1b1+b2。刘徽认为：“盈、朒维乘两设者，欲为齐同之意。”同其盈、朒为b1b2，使所出与盈、朒相齐，分别为a1b2和a2b1，于是b1+b2次所出，共出a1b2+a2b1而不盈不朒，故每次出a1b2+a2b1b1+b2。方程术即线性方程组解法是《九章算术》最值得称道的成就。《九章算术》按分离系数法列出方程，相当于现在的矩阵和增广矩阵。然后用直除法消元，直到每行剩一个未知数，从而求得方程的解。刘徽把率的思想拓展到方程术中，提出方程是“令每行为率”，因而可以对整行施行乘以散之，约以聚之，并在各行之间施行齐同以通之，从而建立了常数与整行的乘除运算，以及两行之间的加减运算。刘徽接着提出了“举率以相减不害余数之课”的原理作为方程术消元的理论基础。直除法是以甲行某系数乘乙行，再从乙行反复减甲行，直至该系数化为零。刘徽认为直除法符合齐同原理，同是同两行相应的未知数系数，齐是使一行中其余各项系数及常数项与该项系数相齐。刘徽进而创造了互乘相消法，与现今消元法无异。刘徽认为，上述原理和方法对负系数方程同样适用：“赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率。然则其正无入负之，负无入正之，其率不妄也。”此处“赤黑”即正负数。五家共井问6个未知数，只能列出5行。《九章算术》按方程术解而实际上把一组最小正整数解作为定解。刘徽认为这是“举图1率以言之”，承认它是不定问题，是为中国古算中第一次明确提出不定方程。刘徽还把率广泛用于面积、体积和勾股等几何计算中。相似勾股形“相与之势不失本率”，是刘徽概括出的一条重要原理。《九章算术》勾股容圆径的公式是d=2ab/（a+b+c）。刘徽用衰分术的证明是：过圆心作平行于弦的直线，分别与勾、股及垂直于勾、股的半径构成与原勾股形相似的小勾股形，且其周长分别等于勾、股，如图1。设勾上小勾股形边长为a1，b1，c1，则a1∶b1∶c1=a∶b∶c，且a1+b1+c1=，由衰分术，b1=ab/（a+b+c），d=2b1=2ab/（a+b+c）。其他测望问题和重差问题亦可借助率解决。刘徽说：“乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎？”显然，刘徽把率看成数学运算的纲纪。刘徽认为，今有术在算法中起着基础性作用。所谓今有术就是：若A∶B=a∶6，则B=ABa。刘徽把它看成“都术”即普遍方法，并且说：“诚能分诡数之纷杂，通彼此之否塞，因物成率，审辨名分，平其偏颇，齐其参差，则终无不归于此术也。”这里，“平其偏颇，齐其参差”，就是齐同原理。
出入相补原理
出入相补又称以盈补虚，是刘徽之前解决面积、体积问题的传统方法，刘徽对它作了记载、概括和发展。以勾股章“出南北门求邑方”问为例，已知出北门a步有木，出南门七步折西b步见木，求邑方。《九章算术》给出二次方程x2+（a+k）x=2ab，x便是邑方。刘徽的出入相补方法是：设北门C，南门D，木B，折西处C′，见木A′。作诸辅助线如图2。勾股形BEA′与BC′A′，AGA′与AFA′面积分别相等，故长方形BEGC与BHFC′面积相等，即ab，长方形HD′F′F的面积为x2+ax+kx，又等于BHFC′之2倍，即2ab，故x2+（a+k）x=2ab。这就证明图2了《九章算术》方法的正确。刘徽在阐述了日高术之后说，《九章算术》的测望问题“皆端旁互见，无有超邈若斯之类”。他说：“虽夫圆穹之象犹日可度，又况泰山高与江海之广哉？”因此，“辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于《勾股》之下”。刘徽说：“凡望极高，测绝深而兼知其远者必用重差、勾股，则必以重差为率，故曰《重差》。”从测望技术上说，他使用了重表、连索、累矩三种基本方法，而望海岛（同日高术）、望松、望谷深代表了望高、知远、测深三个基本公式，其余诸问的方法皆可由它们推出。这三个基本公式是：岛高=表间×表高/相多+表高，松高=表间×人表/相多+人表，谷深=矩间×上股/上下股差一勾高。刘徽设计的问题的复杂程度大大超过了《九章算术》，有的要测望三次图3以盈补虚求堑体积或四次。他说：“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入。”刘徽自注已佚，他怎样证明这些公式不得而知，用出入相补原理或比率的原理都是可能的。立体体积公式也可用出入相补原理证明。刘徽证明堑的体积V=12（b1+b2）ah的方法是以盈补虚，将堑变成一个宽12（b1+b2）、长a、高h的长方体，如图3。刘徽对其他多面体体积公式的证明则必须在用无穷小分割方法证明了阳马和鳖臑的体积公式之后。而所谓扥验法，是刘徽以前的传统方法，不是刘徽创造的，刘徽甚至不满意这种方法，指出了它的局限性。刘徽还用出入相补原理证明了开平方、开立方程序的正确性。如开A的立方，求得初商a1，则减根方程x31+3a1x21+3a21x1=A—a31的几何意义如图4所示，其剩余部分A—a31由小立方x31、三长廉3a1x21、三方廉3a21x1构成，其中x1为待求的未知数。
无穷小分割在数学证明中的应用
这是刘徽最杰出的数学贡献。极限思想的萌芽在先秦墨家、名家、道家的著作中就产生了，但主要在于说明他们的宇宙观。千百年来，车轮等圆形器具的制造中实践着化直为曲、化方为圆的过程，就含有极限思想。司马迁将之抽象为“破觚为圜”，以比喻汉废秦之苛法。刘徽则在中国数学史上第一次把极限思想用于数学证明。
割圆术——圆面积公式的证明。《九章算术》提出了圆面积公式S=12Lr，S，L，r分别为圆面积、周长及半径。刘徽用极限思想对之作了证明。他从圆内接正6边形开始割圆，依次得到正6.2边形（n=0，1，2……），设其面积为Sn，每边长In，周长Ln。他认为割得愈细，S—Sn愈小。“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”用现代符号此即表示=limlnn∞=0，limLnn∞=L，limSnn∞=S。另一方面，圆内接正6.2n边形每边与圆周有余径rn，显然Sn+6.2nInrn=Sn+2（Sn+1—Sn）>S。但在正多边形与圆周合体的情况下，图5“则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。”亦即当limlnn∞=0，时，limrnn∞=0，limn∞Sn+2（Sn+1—Sn）=S。最后，将与圆周合体的正多边形分割成无数个以圆心为顶点以边长为底的小等腰三角形。由于以海边乘半径等于每个小三角形面积的两倍，则这无数个小三角形面积之和应是圆半周与半径之积，正如刘徽所说：“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂。”即S=limn→∞6.2n12lnrn=1〖〗2Lro刘徽原理——锥体体积公式的证明。
刘徽极限思想最精彩的应用当推他关于阳马与鳖臑体积公式的证明。《九章算术》给出阳马体积公式Vy=13adh，鳖臑体积公式Vb=16abh，其中a，b，h是宽、长、高。刘徽指出口≠b≠h的情况下由于“鳖牖殊形，阳马异体”，用牞验法“则难为之矣”。他只好另辟蹊径。刘徽首先提出一个重要原理：“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。”即对任一堑堵，恒有Vy∶Vb∶=2∶1。显然，只要证明了这个原理，由于堑堵体积为12abh，则阳马、鳖臑的体积公式是不言而喻的。这个原理称为刘徽原理。刘徽用无穷小分割证明了它。他将一个阳马与一个鳖臑拼成一个堑堵，再用三个互相垂直的平面平分其长、宽、高，如图6。则阳马分解为一小长方体，二小堑堵和二小阳马，鳖臑分解为图6刘徽原理之证明二小堑堵和二小鳖臑。阳马中二小堑堵与鳖臑中二小堑堵拼成二小长方体，与阳马中小长方休共三个全等的小长方体。显然，阳马与鳖臑在其中体积之比为2∶1。二小阳马与二小鳖臑恰是二小堑堵，它们又合成第四个全等的小长方体。阳马与鳖臑在其中体积之比仍未知。总之，阳马与鳖臑在原堑堵的3/4中的体积之比为2∶1，在其1/4中仍未知，“是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一”。刘徽指出，若在余下的1/4中能证明可知部分阳马与鳖臑体积之比仍为2∶1，则就可以确定在整个堑堵中阳马与鳖臑体积之比为2∶1。为什么呢？由于所余1/4中，两个小堑堵的结构与原堑堵完全相似，因此可以重复刚才的分割，从而又证明在其中的3/4中阳马与鳖臑体积之比为2∶l，而在原堑堵的14·14中未被证明。这个过程可以无限继续下去，“半之弥少，其余弥细，至细日微，微则无形。由是言之，安取余哉？”没有证明刘徽原理成立的部分为0。换言之，在整个堑堵中证明了刘徽原理。刘徽原理是刘徽整个体积理论的核心。用无穷小分割方法解决四面体体积是现代数学研究的课题之一，是D·希尔伯特（Hilbert）《数学问题》第三个问题的主题。刘徽在此前1600多年就开始考虑这个问题。
牟合方盖与截面积原理
在证明其他面积和体积时，刘徽以另一种方式使用了无穷小分割。刘徽指出，《九章算术》的开立圆术是错误的。他用两个底径等于球径的圆柱正交，其公共部分称作牟合方盖，如图7。提出“合盖者，图7球牟合方盖与立方（八分之一）方率也；丸居其中，即圆率也”，指出了彻底解决球体积的正确途径。200多年后，祖冲之父子解决了这个问题。刘徽还提出圆锥、圆台分别与其外切方锥、方台体积之比为π∶4，圆锥与以圆锥底周为底之每边长的方锥体积之比为25∶314（相当于1∶41π）。刘徽说“上连无成不方，故方锥与阳马同实”。成，训层，如图8。可见刘徽认为，两立体若等高处的截面积成定比，则其体积成定比。后来西方的B.卡瓦列里（Cava lieri）的不可分量原理与之十分接近。刘徽开始把中国对截面积原理的认识提高到理性阶段，为祖暅原理的最后完成作了准备。刘徽还提出圆锥与方锥的侧面积之比为π∶4。
极限思想在近似计算中的应用
图8刘徽指出，圆面积公式中的周径“谓至然之数，非周三径一之率也”，因而需要求该数即π的精确值。他用割圆程序割直径为2尺的圆，依次求出l1，l2，l3，l4，算出S4=313584625寸2，S5=31464625寸2，则S4+2（S5—S4）=314169625寸2>S从而取S=314寸2，再利用圆面积公式反求出周长：“以半径一尺除圆幂，倍所得，六尺二寸八分，即周数。”又“令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也”。此即π=157/50（=3.14）。刘徽认为此率“犹为微少”，又取S=314寸2寸，同样求出π=3927/1250，并求出l8，计算出S9，验证了这个值。这是中国第一次提出求圆周率的正确方法，奠定了中国古代圆周率计算在世界上长期领先的基础。据信，祖冲之就是用刘徽的方法将圆周率的有效数字推进到8位。刘徽指出《九章算术》弧田（弓形）术不精确。他利用割圆思想，将弧二等分，求出小弧之弦、矢，再将小弧二等分，如此继续下去，“割之又割，使至极细。但举弦矢相乘之数，则必近密率矣”。用这种方法可以将弧田面积精确到所需要的程度。《九章算术》开方不尽时，“以面命之”，这是以被开方数的方根定义一个数，相当于无理数。至于其近似值，刘徽之前，有表示成N=a+r2a+1的，a为根的整数部分，r为余数。刘徽认为这“虽粗相近，不可用也”。从而提出：“不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。”在开立方中也有类似方法。这种求十进分数的思想与现今求无理根的十进小数近似值完全相同，其意义十分重大。计算精确的圆周率，必须求微数，它是保证中国圆周率计算长期领先的先决条件。同时，它开十进小数之先河，对中国在世界上最先使用小数起了促进作用。
枝条虽分而同本干——刘徽的数学体系
刘徽的数学知识分散在《九章算术》中，好像杂乱无章，前后失次，实际上并不然。他说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。”这个端是什么呢？刘徽在谈到数学研究并不特别困难时说：“至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共。”规、矩分别是画圆、画方的工具，表示事物的空间形式，度量指度、量、衡，表示事物的数量关系。刘徽的话表明他认为数学方法来源于空间形式和数量关系的统一，这正反映了中国古算的特色——几何与算术、代数的统一。对《九章算术》的解法进行论证是刘徽注的主题。上文所列出的论证所使用的推理都是演绎推理，因而其论证是演绎证明。事实上，整个刘徽注固然使用了大量类比与归纳推理，但在数学命题的论证上主要使用了演绎推理。据分析，刘徽注中包含了三段论、关系推理、连锁推理、假言推理、选言推理以及二难推理等演绎推理形式。刘徽推理的前提是由公认的事实抽象出来的原理及已经证明的公式，解法。当然，还必须提出许多数学定义。在中国，数学定义最初出现在先秦《墨经》中。《九章算术》却没有任何定义。刘徽继承墨家传统，提出了若干定义，如方程。“方”的本义是并船，许慎《说文解字》：“方，并船也”，亦训并。“程，课程也”，考核其标准。方程的本意是并而程之。细言之，是将一组物的各种数量关系并列起来考察诸物的标准。刘徽说：“群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”显然是一个符合方程本义的发生性定义。刘徽关于正负数的定义：“两算得失相反，要令正负以名之。”它表明，正负是互相依存的，不再是以盈为正，以欠为负的朴素描述。根据这个定义，方程中各行系数的正负可根据消元的方便而定：“可得使头位常相与异名。”面积的定义：“凡广从相乘谓之幂。”由这个定义，可以计算曲面的面积，并且可以把与面积无关的两数相乘问题化成面积问题解决。刘徽没写出体积的定义，但遍察《九章算术》，刘徽没写注的只有53问的术文，其中52间（分别在卷二、三、八）或已注过总术，或已注过同类术，根据简约的原则，不必再注。余下没作注的便只有商功章方堡土寿（方柱体）体积公式。这不是刘徽的疏漏，而是把它看成不能证明的真理，因此可以理解为定义。刘徽着力探讨《九章算术》各公式、解法，以至数学各部分之间的关系。以体积问题为例。《九章算术》以牞验法为主要方法，其正确性是归纳的结果。刘徽则不然，他在用无穷小分割完成阳马与鳖臑的体积公式证明之后指出：“不有鳖臑，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。”并且接近提出任何四面体的体积都是16abh。他将方锥、方亭、刍甍、刍童、羡除等多面体分割成长方体、堑堵、阳马、鳖臑，以证明其体积公式。刘徽的多面体理论是从长方体出发，以四面体体积公式的证明为核心，以演绎推理为主的理论体系。刘徽的其他理论都可作类似分析。总之，数学在刘徽的头脑中形成了一个独具特色的体系。它从规矩度量的统一出发，引出面积、体积、率、正负数的定义，运用齐同原理、出入相补原理、无穷小分割方法，以演绎逻辑为主要推理方法，以计算为中心，以率为纲纪。它“约而能周，通而不黩”，并且没有任何循环推理，全面地反映了到公元3世纪为止的中国人的数学知识。刘徽《九章算术注》不仅有概念，有命题，而且有联结这些概念和命题的逻辑推理。它的出现标志着中国古代数学形成了自己的理论体系。
刘徽和他的时代
公元3世纪由刘徽完成《九章算术注》这样杰出的著作不是偶然的。中国封建社会经过两汉大发展，到魏晋发生了大变革，经济关系的基本特征是庄园农奴制，门阀士族占据政治舞台的中心，中国封建社会进入一个新阶段。与此相适应，繁琐的两汉经学和谶纬迷信被冷落，儒学衰微，代之而起的是以研究三玄（《周易》《老子》《庄子》）为中心的辩难之风，思想界出现了春秋战国百家争鸣之后所未有过的解放与活跃局面。知识分子较能按自己的特长和社会需要发挥才智，而少受追求功名利禄及代圣贤立言的精神枷锁的束缚，从而打开了数学研究中发挥创造性的大门。以严谨为其特点的数学几百年来积累了大量公式、解法需要证明其正确性，而“析理”，探索思维规律，互相辩难，追求理性的辩难之风的兴起促进了这个过程的完成。刘徽注《九章算术》的宗旨“析理以辞，解体用图”无疑是辩难之风中“析理”在数学中的反映。刘徽主张“要约”，“举一反三”，反对以多为贵、远引繁言，主张触类而长，这都与嵇康、王弼、何晏等思想家的主张一致，甚至他们的许多用语、句法也都相近。因此，刘徽深受辩难之风的影响而析数学之理是顺理成章的。我们由此而断定刘徽为嵇康、王弼的同代人而稍小一点，当生于3世纪20年代后期或稍后，注《九章算术》时年仅30岁左右，这与汉末三国多早熟夙悟才子是吻合的。
刘徽成长在齐鲁地区为他在数学理论上做出贡献提供了良好的客观条件。邹鲁之乡是儒学的发祥地，临淄稷下学宫招徕全国著名学者，成为先秦百家争鸣的中心之一。经两汉到魏晋，齐鲁的学术空气一直十分浓厚，2~3世纪更出现了徐干、仲长统、王肃、郑玄、王弼等大思想家，曹魏时期，齐鲁地区又是正始之音辩难之风的中心之一。因此，刘徽从小能受到良好的文化教养，并置身于辩难之风之中。另一方面，2~3世纪，齐鲁地区的数学比较发达，出现了刘洪、郑玄、徐岳、王粲等著名数学家，形成了以研究《九章算术》为主的数学中心，这就给刘徽少年时师承贤哲，成年后“采其所见”，从事深入的数学研究准备了丰富的资料。在这样的客观条件下，使刘徽有可能改变数学偏重实践经验，忽视理论研究的传统，向重视理论研究的方向转化。
刘徽本人具有一个大科学家的素养，是他成功的内在因素。首先，他继承了《九章算术》开创的数学联系实际的传统。刘徽在论述包括数学本原在内的各种问题时都坚持实事求是，没有神秘的成分。他说：“不有明据，辩之斯难。”全部《九章算术注》的推理、论证都有可靠的论据和前提。他指出数学“非特难为也”，批评张衡欲协其阴阳奇耦而不顾数学上疏密的错误，指出“虽有文辞，斯乱道破义，病也。”与不可知论及数字神秘主义划清了界限。刘徽博览群书，善于汲取历代思想家的思想资料用于自己的数学创造。他引用《墨子》《周礼》及《考工记》《左氏传》《周易》《论语》《管子》《老子》《庄子》《史记》《淮南子》等典籍的话，顺手拈来，天衣无缝，表明他谙熟诸子百家言。他置身于时代潮流中，重视数学理论研究，他的无穷小分割中“不可割”的观点与墨家“不可新”的思想一脉相承，“至细日微，微则无形”的观点则源于《庄子》“至精无形”，他的推理方式受到王充《论衡》的影响，等等，都是时代的产物。但他不迷信古人。《九章算术》在东汉已被奉为经典，刘徽为之作注，对之自然十分推崇。然而他并不盲从。他在全面论述《九章算术》的同时，指出了它的若干错误及不精确处。如批评宛田术和开立圆术的错误，指出有关圆或圆体的问题或术文“以周三径一为率，皆非也”。在中国数学史上批评《九章算术》最早最多最深刻的，要数刘徽。他还批评世人因袭《九章算术》之旧法，“莫肯精核，学者踵古，习其谬失”。同时，他虚怀若谷，敢于承认自己的不足。对自己设计的牟合方盖，他“判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正”，未能求出其体积，然而他决不不懂装懂，故弄玄虚以欺世人，而是坦率地承认“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者”，既表现了他“知之为知之，不知为不知”的实事求是作风，又反映了他寄希望于后学，相信后人能超过自己的坦荡胸怀。刘徽认为，用数学方法解决实际问题，应在认识数学精理的基础上尽量灵活运用各种数学方法，所谓“设动无方”，而不应“专于一端”，不知变通。他以《庄子》“庖丁解牛”的寓言作比喻，说“数，犹刃也。易简用之则动中庖丁之理，故能和神爱刃，速而寡尤。”因此，他对一个问题常常提出几种不同的解法，对一种解法，又提出不同的理解途径，大大丰富了《九章算术》的内容。
当然，在表彰这位数学巨匠的功绩时，也不能不指出他的某些不足。刘徽在数学上无疑是位创造者、革新者。就他的水平，完全可以写出一部水平更高的自成体系的著作。然而他未能突破给经典著作作注的惯例，把自己的真知灼见分散到《九章算术》中，这对后人理解《九章算术》大有裨益，但却限制了他的数学创造、数学方法的展开，限制了他的思想对后世的影响。比如就极限思想而言，从现存中国古算资料看，在清末李善兰微积分思想产生及西方微积分学传入中国之前，再没有人超过甚至没有达到刘徽的水平。因此可以说，刘徽《九章算术注》在内容上是革命的，在形式上是保守的。刘徽说：“一者，数之母”，在有理数范围内这是正确的，并且，这种思想对求圆周率近似值，开方不尽求微数而不必考虑哲学上的困难，无疑是有意义的。但是这种思想也关上了考虑与1没有公度的数的大门，后来关于无理数的认识一直未能在《九章算术》的基础上前进一步。
陆机
陆机，字元恪。三国（3世纪）时吴国吴郡（今江苏吴县）人。生卒年不详，博物学家。
陆机，一作陆玑，以别于同时同郡的文学家陆机（字士衡）。其实，文学家陆机在吴亡后入晋，应为西晋时人。以博物著称的陆机，因正史无传，且缺乏史籍记载，其生平活动，尤其是他的生卒年，很难考订。从惟一可资凭说的《毛诗草木鸟兽虫鱼疏》中也只能得到点滴信息，觅得少量线索。
